Kẻ KH $\perp$ CD và KH $\perp$ AB lần lượt tại K và H

Suy ra OK vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat{DOC}$ => $\widehat{DOK}=\widehat{COK}$ 

Và OH vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat{AOB}$ =>$\widehat{AOH}=\widehat{BOH}$

Do đó  $\widehat{AOH}+\widehat{DOK}=\widehat{BOH}+\widehat{COK}\Rightarrow \widehat{AOD}=\widehat{COB}$

Nên số đo cung AD bằng số đo cung BC, từ đó AD = BC

Phương án A, C, D sai và B đúng

Đáp án cần chọn là: B

Chú ý: Lời giải trên chính là một cách chứng minh cho tính chất “Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau”.

Kẻ KH $\perp$ CD và AB lần lượt tại K và H

Suy ra OK vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat{DOC}\Rightarrow \widehat{DOK}=\widehat{COK}$ 

Và OH vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat{AOB}\Rightarrow \widehat{AOH}=\widehat{BOH}$  

Do đó  $\widehat{AOH}+\widehat{DOK}=\widehat{BOH}+\widehat{COK}\Rightarrow \widehat{AOD}=\widehat{COB}$

Nên số đo cung AD bằng số đo cung BC, từ đó AD = BC

Vì DC // AB; AD = BC nên ABCD là hình thang cân nên AC = BD

Phương án A, B, D đúng và C sai

Đáp án cần chọn là: C

Vì AO $\perp$ CD; AO // DE => CD $\perp$ DE => $\widehat{CDE}$ = 90^o

mà C, D, E $\in$ (O) nên CE là đường kính hay C; O; E thẳng hàng

Xét (O) có OA là đường cao trong tam giác cân ODC nên OA cũng là đường phân giác => $\widehat{COA}=\widehat{AOD}$

Suy ra cung AD bằng cung AC nên dây AD = AC

Lại thấy $\widehat{AOC}=\widehat{BOE}$ (đối đỉnh) nên cung AC bằng cung BE suy ra dây AC = BE

Phương án A, B, C đúng

Đáp án cần chọn là: D

Vì cung AC có số đo 50^o nên  = 50^o

Vì AO $\perp$ CD; AO // DE => CD $\perp$ DE => $\widehat{CDE}$ = 90^o

mà C, D, E $\in$(O) nên CE là đường kính hay C; O; E thẳng hàng

Xét (O) có OA là đường cao trong tam giác cân ODC nên OA cũng là đường phân giác => $\widehat{COA}=\widehat{AOD}$ = 50^o

Lại thấy $\widehat{BOE}=\widehat{AOC}={50}^o$ (đối đỉnh) suy ra $\widehat{AOC}=\widehat{AOD}=\widehat{BOE}={50}^o$ (D đúng) và suy ra cung AC bằng cung BE nên B đúng

Ta có $\widehat{DOE}={180}^o-\widehat{AOD}-\widehat{BOE}={80}^o$ nên cung AD < cung DE  AD < DE hay đáp án A sai

Lại có $\widehat{AOE}=\widehat{AOD}+\widehat{DOE}=$ 50^o + 80^o = 130^o và

$\widehat{BOD}=\widehat{BOE}+\widehat{DOE}$  = 50^o + 80^o = 130^o

Nên $\widehat{AOE}=\widehat{BOD}$ suy ra số đo cung AE = số đo cung BD. Do đó C đúng

Phương án B, C, D đúng và A sai

Đáp án cần chọn là: A

Vì trong một đường tròn hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau nên ta đi so sánh các đoạn thẳng HB; MB; MH

Xét tam giác BCH vuông tại H có:

cosB = $\frac{HB}{BC}\iff \frac{HB}{BC}$ = cos 60^o = $\frac{1}{2}\Rightarrow HB=\frac{BC}{2}$ = BM = CM

Xét tam giác HBM có BM = BH (cmt) và  = 60^o nên $\Delta$HBM là tam giác đều

=> BM = BH = HM

Suy ra ba cung HB; MB; MH bằng nhau

Đáp án cần chọn là: D

Vì trong một đường tròn hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau nên ta đi so sánh các đoạn thẳng HB; MB; MH

Xét tam giác BCH vuông tại H có:

cosB = $\frac{HB}{BC}\iff \frac{HB}{BC}$ = cos 30^o = $\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HB=\frac{\sqrt{3}}{2}BC$(*)

Xét tam giác HBC vuông tại H có HM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên HM = BM = CM =  (**)

Mà $\frac{BC}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}BC$ nên từ (*) và (**) ta có BM = HM < HB

Suy ra cung MB = cung HM < cung HB

Hay cung HB là cung lớn nhất nên B sai

Đáp án cần chọn là: B

Vì hai dây MC // AN nên hai cung AM và cung CN bằng nhau hay AM = CN

Suy ra MCNA là hình thang cân => MN = AC

Gọi H là giao của CD và AB. Khi đó vì AB $\perp$ CD tại H nên H là trung điểm của AB => AH = $\frac{AB}{2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}$ 

Xét tam giác vuông AHO, theo định lý Pytago ta có OH = $\sqrt{A{O}^2-A{H}^2}=\frac{R}{2}$

=> CH = $\frac{3R}{2}$ 

Theo định lý Pytago cho tam giác ACH vuông ta có: AC =  $\sqrt{C{H}^2+A{H}^2}=R\sqrt{3}$

Vậy MN =  $R\sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Vì hai dây MC // AN nên hai cung AM và cung CN bằng nhau, hay AM = CN

Suy ra MCNA là hình thang cân => MN = AC

Gọi H là giao của CD và AB. Khi đó vì AB $\perp$ CD tại H nên H là trung điểm của AB => AH =  $\frac{AB}{2}=\frac{R\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác vuông AHO, theo định lý Pytago ta có:

OH =  $\sqrt{A{O}^2-A{H}^2}=\sqrt{R^2-{\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{R\sqrt{2}}{2}$

=> CH = R + $\frac{R\sqrt{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}R$

Theo định lý Pytago cho tam giác ACH vuông ta có:

AC =  $\sqrt{C{H}^2+A{H}^2=\sqrt{\frac{{\left(2+\sqrt{2}\right)}^2}{4}{R}^2+\frac{2R^2}{4}}}=\sqrt{\frac{8+4\sqrt{2}}{4}{R}^2}=\sqrt{2+\sqrt{2}}.R$

Vậy MN = R$\sqrt{2+\sqrt{2}}$

Đáp án cần chọn là: D

Xét (O) có BE là đường kính và A $\in$ (O) => AE $\perp$ AB mà CD $\perp$ AB

=> AE // CD

Nên cung AC bằng cung ED hay AC = ED

Xét các tam giác vuông $\Delta$IAC và $\Delta$IBD ta có:

IA² + IC² = AC²; IB² + ID² = BD²

 IA² + IC² + IB² + ID² = AC² + BD² = ED² + BD²

Mà $\Delta$BED vuông tại D nên ED² + BD² = EB² = (2R)² = 4R²

Vậy IA² + IC² + IB² + ID² = 4R².       

Đáp án cần chọn là: C

Xét (O) có BE là đường kính và A $\in$ (O) => AE $\perp$ AB mà CD  $\perp$AB

=> AE // CD

Nên cung AC bằng cung ED hay AC = ED

Xét các tam giác vuông $\Delta$IAC và $\Delta$IBD ta có:

IA² + IC² = AC²; IB² + ID² = BD²

=> IA² + IC² + IB² + ID² = AC² + BD² = ED² + BD²

Mà $\Delta$BED vuông tại D nên ED² + BD² = EB²

Hay IA² + IC² + IB² + ID² = BE² nên C đúng mà BE $\ne$ AD nên D sai

Xét các tam giác vuông $\Delta$IAD và $\Delta$IBC ta có:

IA² + ID² = AD²; IB² + IC² = BC² => IA² + IC² + IB² + ID² = AD² + BC²

Vậy A, B, C đúng, D sai

Đáp án cần chọn là: D

Xét (O’) với OA là đường kính và E $\in$ (O’) nên OE $\perp$ AC

Tương tự với (O) ta có BC $\perp$ AC nên OE // BC mà O là trung điểm của AB

=> E là trung điểm của AC => OE =  BC

Tương tự OF =  DB mà cung BC bằng cung BD nên BC = BD => OE = OF hay cung OE = cung OF

Đáp án cần chọn là: C

Xét (O’) với OA là đường kính và E $\in$ (O’) nên OE $\perp$ AC

Tương tự với (O) ta có BC $\perp$ AC nên OE // BC mà O là trung điểm của AB

=> E là trung điểm của AC => OE =  BC

Tương tự OF = $\frac{1}{2}$ DB mà cung BC bằng cung BD nên BC = BD

=> OE = OF hay cung OE = cung OF

Vì OA là đường kính của đường tròn (O’) và E, F $\in$ (O’) nên $∆$OEA vuông tại E; $∆$OFA vuông tại F

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông OEA và OFA ta có: AE² = AO² – OE² và AF² = AO² – AE² mà OE = OF (cmt) => AE² = AF² => AE = AF

Đáp án cần chọn là: C

Kẻ KH $\perp$ CD và KH $\perp$ AB lần lượt tại K và H

Suy ra OK vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat{DOC}\Rightarrow \widehat{DOK}=\widehat{COK}$

Và OH vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của $\widehat{AOB}\Rightarrow \widehat{AOH}=\widehat{BOH}$

Do đó  $\widehat{AOH}+\widehat{DOK}=\widehat{BOH}+\widehat{COK}\Rightarrow \widehat{AOD}=\widehat{COB}$

Nên số đo cung AD bằng số đo cung BC, từ đó AD = BC

Phương án A, C, D sai, B đúng

Đáp án cần chọn là: B

Lưu ý:  Lời giải trên chính là một cách chứng minh cho tính chất “Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau”