IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 9 Toán Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án

Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án

Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án (Phần 2: Hình học)

  • 1403 lượt thi

  • 87 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Để đo chiều cao CD của một cái tháp (C là chân tháp, D là đỉnh tháp), một người chọn 2 điểm A,B sao cho C,A,B thẳng hàng và quan sát tháp, kết quả quan sát như hình vẽ, và A cách B 24m. Tính chiều cao của tháp.

Xem đáp án

Áp dụng các công thức lượng giác trong tam giác CAD,CBD:   ACDC=cotDAC^=cot600;BCDC=cotDBC^=cot480

BCACDC=cot480cot600CD=ABcot480cot60074,3(m)

Vậy chiều cao của tháp xấp xỉ 74,3m


Câu 2:

Hai học sinh A (vị trí A) và học sinh B (vị trí B) đang đứng ở mặt đất cách nhau 100m cùng nhìn máy bay trực thăng ở vị trí C. Biết góc nâng ở vị trí A là 55 độ, góc nâng ở vị trí B là 48 độ. Hãy tính độ cao của máy bay so với mặt đất.
Media VietJack
Xem đáp án

Áp dụng các công thức lượng giác trong tam giác CHA,CHB:

         AHCH=cotCAH^=cot550;BHCH=cotCBH^=cot400

         BH+AHCH=cot400+cot550CH=ABcot400+cot55052,86(m)

Vậy độ cao của máy bay so với mặt đất xấp xỉ 52,86m.


Câu 3:

Một người thợ sử dụng thước ngắm có góc vuông để đo chiều cao của một cây dừa, với các kích thước đo được như hình bên. Khoảng cách từ vị trí gốc cây đến vị trí chân của người thợ là 4,8m và từ vị trí chân đứng thẳng trên mặt đất đến mắt của người ngắm là 1,6m. Hỏi với các kích thước trên thì người thợ đo được chiều cao của cây đó là bao nhiêu? (làm tròn đến mét).

Media VietJack

Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

Media VietJack

Xét tứ giác ABDH có:

                A^=B^=H^=900 (hình vẽ)

Tứ giác ABDH là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

        BA=DH=1,6m;  BD=AH=4,8m

Xét ∆ADC vuông tại D và DB là đường cao, ta có:

                 DB2=BA.BC (hệ thức lượng)

        BC=DB2BA=4,821,6=14,4m

         AC=AB+BC=1,6+14,4=16m

Vậy chiều cao của cây dừa là 16m


Câu 4:

Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B nằm bên kia bờ sông, ông Việt vạch từ A đường vuông góc với AB. Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thẳng AC = 30m, rồi vạch CD vuông góc với phương BC cắt AB tại D (xem hình vẽ). Đo AD = 20m, từ đó ông Việt tính được khoảng cách từ A đến B. Em hãy tính độ dài AB và số đo góc ACB.
Media VietJack
Xem đáp án

Xét ∆BCD vuông tại C và CA là đường cao, ta có:

                 AB.AD=AC2 (hệ thức lượng)

         AB=AC2AD=30220=45m

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

                tanACB=ABAC=4530=1,5 (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         ACB^56018'

Vậy tính độ dài AB = 45m và số đo góc ACB là 56018’


Câu 5:

Một cây cau có chiều cao 6m. Để hái một buồn cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 8m (làm tròn đến phút)
Media VietJack
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

                 sinB=ACBC=68=34 (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         B^48035'

Vậy góc giữa thang tre với mặt đất là  48035'


Câu 6:

Một máy bay đang bay ở độ cao 12km. Khi bay hạ cánh xuống mặt đất, đường đi của máy bay tạo một góc nghiêng so với mặt đất.
Media VietJack
a) Nếu cách sân bay 320km máy bay bắt đầu hạ cánh thì góc nghiêng là bao nhiêu (làm tròn đến phút)?
Xem đáp án

a) Hình vẽ minh họa bài toán:

Media VietJack

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

                 sinB=ACBC=12320=380 (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

        B^209'

Vậy góc nghiêng là  209'


Câu 7:

b) Nếu phi công muốn tạo góc nghiêng 50 thì cách sân bay bao nhiêu kilômét phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)?
Xem đáp án

b)  Hình vẽ minh họa bài toán:    

 Media VietJack

  Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

                 sinB=ACBC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         BC=ACsinB=12sin50137,7km

 Vậy phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh khi cách sân bay 137,7km

Câu 9:

Trường bạn An có một chiếc thang dài 6 mét. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng cách bằng bao nhiêu để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” là 650 (tức là đảm bảo thang không bị đổ khi sử dụng)

Media VietJack

Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

Media VietJack  

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

                 cosB=ABBC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         AB=BC.cosB=6.cos6502,5m

Vậy cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng 2,5m


Câu 10:

Thang xếp chữ A gồm 2 thang đơn tựa vào nhau. Để an toàn, mỗi thang đơn tạo với mặt đất một góc khoảng 750. Nếu muốn tạo một thang xếp chữ A cao 2m tính từ mặt đất thì mỗi thang đơn phải dài bao nhiêu?

Media VietJack

Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

Media VietJack

Do tam giác ABC cân nên đường cao AH cũng là trung tuyến hay H là trung điểm BC

Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:

 sinB=AHAB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

 AB=AHsinB=2sin7502,07m

Vậy thang đơn cần có chiều dài 2,07m


Câu 11:

Từ một đài quan sát cao 350m so với mực nước biển, người ta nhìn thấy một chiếc thuyền bị nạn dưới góc 200 so với phương ngang của mực nước biển. Muốn đến cứu con thuyền thì phải đi quãng đường dài bao nhiêu mét?
Media VietJack
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

Media VietJack

Theo đề bài, ta có:  BCA^=CBx^=200(vì AC // Bx và 2 góc ở vị trí so le trong)

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

         tanACB=ABAC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

 AC=ABtanACB=350tan200961,6m

Vậy muốn cứu con thuyền thì phải đi quãng đường dài khoảng 961,6m


Câu 12:

Một khối u của một bệnh nhân cách mặt da 5,7cm được chiếu bởi một chùm tia gamma. Để tránh làm tổn thương mô, bác sĩ đặt nguồn tia cách khối u (trên mặt da) 8,3cm (xem hình vẽ). Tính góc tạo bởi chùm tia với mặt da và chùm tia phải đi một đoạn dài bao nhiêu để đến được khối u?
Media VietJack
Xem đáp án

Dựa vào hình vẽ bài toán, ta có:

Media VietJack

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

                 tanB=ACAB=5,78,3 (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         B^34028' 

Và:  BC2=AB2+AC2 (định lý Pytago)

         BC=AB2+AC2=8,32+5,7210,1cm

Vậy góc tạo bởi chùm tia với mặt da là 34028’ và chùm tia phải đi một đoạn dài khoảng 10,1cm để đến được khối u.


Câu 13:

Một người quan sát đứng cách một cái tháp 10m, nhìn thẳng đỉnh tháp và chân tháp lần lượt dưới 1 góc 550 và 100  so với phương ngang của mặt đất. Hãy tính chiều cao của tháp.
Media VietJack
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

Media VietJack

Dựa vào hình vẽ minh họa, ta có: AH = BD = 10m

Xét ∆AHB vuông tại H, ta có:

                 tanBAH=BHAH (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         BH=AH.tanBAH=10.tan100m

Xét ∆AHC vuông tại H, ta có:

                 tanCAH=CHAH (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         CH=AH.tanCAH=10.tan550m

Ta có:  BC=BH+CH=10.tan100+10.tan55016m

Vậy chiều cao của tháp là 16m


Câu 14:

Một cần cẩu có góc nghiêng so với mặt đất nằm ngang là 400. Vậy muốn nâng một vật nặng lên cao 8,1 mét thì cần cẩu phải dài bao nhiêu? Biết chiều cao của xe là 2,6 mét, chiều cao của vật nặng là 1 mét (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân)
Media VietJack
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

Ta có:  AK=CH 

         AD+DK=CH 

         AD=CHDK=2,61=1,6m 

Mà:  AB+AD=BD 

         AB=BDAD=8,11,6=6,5m

 Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

         sinC=ABBC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

 BC=ABsinC=6,5sin40010,1m 

Vậy cần cẩu phải dài 10,1m


Câu 15:

Một con thuyền qua khúc sông với vận tốc 3,5km/h mất hết 6 phút. Do dòng nước chảy mạnh nên đã đẩy con thuyền đi qua sông trên đường đi tạo với bờ một góc 250. Hãy tính chiều rộng của con sông?
Media VietJack
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

Media VietJack

Chuyển đổi: 6 phút  =110h

Quãng đường con thuyền đi được là:

                 AC=sAC=v.t=3,5.110=0,35km=350m

Xét ∆ABC vuông tại B, ta có:

                 cosA=ABAC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         AB=AC.sinA=350.cos250317,21m

Vậy chiều rộng của con sông là 147,92m


Câu 16:

Một tòa nhà cao tầng có bóng trên mặt đất là 272m, cùng thời điểm đó một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 14m. Em hãy cho biết tòa nhà đó có bao nhiêu tầng, biết rằng mỗi tầng cao 3,4m?
Media VietJack
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

Media VietJack

Vì các góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên góc C bằng góc C’

         tanC=tanC'ABAC=A'B'A'C' (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         A'B'=AB.A'C'AC=7.27214=136m

Vậy tòa nhà có:  1363,4=40 (tầng)


Câu 17:

Tòa nhà Bitexco Financial, Bitexco Financial Tower hay Tháp Tài chính Bitexco là một tòa nhà chọc trời được xây dựng tại trung tâm Quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh. Tòa nhà có 68 tầng (không tính 3 tầng hầm). Biết rằng, khi tòa nhà có bóng in trên mặt đất dài 47,3 mét, thì cùng thời điểm đó có một cột tiêu (được cắm thẳng đứng trên mặt đất) cao 15 mét có bóng in trên mặt đất dài 2,64 mét.

Media VietJack

a) Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất (đơn vị đo góc được làm tròn đến độ)

b) Tính chiều cao của tòa nhà (làm tròn đến hàng đơn vị).

Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

a)  Vì các góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là bằng nhau nên góc B bằng góc B’

         tanB=tanB'=A'C'A'B'=152,64 (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         B^=B'^800

Vậy góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là 800

b) Ta có:  tanB=ACAB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         AC=AB.tanB=47,3.152,64268,8m

Vậy chiều cao của tòa nhà là 268,8m


Câu 18:

Giông bão thổi mạnh, một cây tre gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất và ngọn cây tạo với mặt đất một góc 300. Người ta đo được khoảng cách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến gốc cây tre là 8,5m. Giả sử cây tre mọc vuông góc với mặt đất, hãy tính chiều cao của cây tre đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Media VietJack

Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

Media VietJack

Xét ∆ADC vuông tại C, ta có:

                 tanDCA=ADAC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         AD=AC.tanDCA=8,5.tan300m

Và:  cosDCA=ACDC  (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         DC=ACcosDCA=8,5cos300m

         AB=AD+DC=8,5.tan300+8,5cos30014,72m

Vậy chiều cao của cây tre là 14,72m


Câu 19:

Tính chiều cao của trụ cầu Cần thơ so với mặt sông Hậu cho biết tại hai điểm cách nhau 89m trên mặt sông người ta nhìn thấy đỉnh trụ cầu với góc nâng lần lượt là 400 và 300.
Media VietJack
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

Media VietJack

Xét ∆ABD vuông tại A, ta có:

                 tanADB=ABAD (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         AD=ABtanADB=ABtan400m (1)

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

                 tanACB=ABAC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         AC=ABtanACB=ABtan300m (2)

Ta có:  AD+DC=AC (vì D thuộc AC)

          ABtan400+89=ABtan300ABtan300ABtan400=89AB.1tan3001tan400=89AB=891tan3001tan400AB164,7m

        w Vậy chiều cao của trụ cầu Cần thơ so với mặt sông Hậu là 164,7m


Câu 20:

Hai người A và B đứng cùng bờ sông nhìn ra một cồn nổi giữa sông. Người A nhìn ra cồn với 1 góc 430 so với bờ sông, người B nhìn ra cồn với 1 góc 280 so với bờ sông, 2 người đứng cách nhau 250m. Hỏi cồn cách bờ sông hai người đang đứng là bao nhiêu m?

Media VietJack

Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

Xét ∆AHC vuông tại A, ta có:

          tan CAH^=CHAH (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

 AH=CH=CHtan430m (1)

Xét ∆BHC vuông tại A, ta có:

         tan CBH^=CHBH (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

 BH=CHtan CBH^=CHtan280 (2)

Từ (1) và (2)  AH+BH=CHtan430+CHtan280AB=CH.1tan430+1tan280250=CH.1tan430+1tan280 

 CH=2501tan430+1tan28084,66m

Vậy cồn cách bờ sông hai người đang đứng là 84,66m


Câu 21:

Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như hình vẽ dưới đây. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét).

Media VietJack

Xem đáp án

Xét ∆AIK vuông tại I, ta có:

                 tanAKI=AIIK (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         AI=IK.tanAKI=380.tan500453m

Xét ∆BIK vuông tại I, ta có:

                 tanBKI=BIIK (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         BI=IK.tanBKI=380.tan150+500=380.tan650815m

Ta có:  AB+AI=BI 

         AB=BIAI=815453=362m

Vậy khoảng cách giữa chúng là 362m


Câu 22:

Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) phải leo lên và xuống một con dốc như hình vẽ dưới. Cho biết đoạn AB dài 762m, góc A = 60, góc B = 40.
Media VietJack

a) Tính chiều cao con dốc.

Xem đáp án

a)  Xét ∆ACH vuông tại H, ta có:

                  tanCAH=CHAH  (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         AH=CHtanCAH=CHtan60m (1)

Xét ∆BCH vuông tại H, ta có:

                 tanCBH=CHBH  (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         BH=CHtanCBH=CHtan40m (2)

Từ (1) và (2)  AH+BH=CHtan60+CHtan40AB=CH1tan60+1tan40762=CH1tan60+1tan40

         CH=7621tan60+1tan4032m       

 Vậy chiều cao của con dốc là 32m


Câu 23:

b) Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ? Biết rằng tốc độ lên dốc là 4km/h và tốc độ xuống dốc là 19km/h.
Xem đáp án

b)  Xét ∆ACH vuông tại H, ta có:

                 sinCAH=CHAC (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         AC=CHsin60=32sin60m (3)

 Xét ∆BCH vuông tại H, ta có:

                 sinCBH=CHCB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         CB=CHsin40=32sin40m (4)

 Đổi đơn vị:  4km/h=109m/s;  19km/h=9518m/s

  Thời gian lên dốc AC là:

                 tAC=SACvAC=ACvAC=32/sin6014,4s

 Thời gian xuống dốc CB là:

                 tCB=SCBvCB=CBvCB=32/sin4068,4s

 Thời gian đi từ A đến B là:

                 tAB=tAC+tCB=32109.sin60+329518.sin40362,44s 6 phút 3 giây


Câu 24:

Trong một buổi luyện tập, một tàu ngầm ở trên mặt biển bắt đầu lặn xuống và di chuyển theo một đường thẳng tạo với mặt nước biển một góc 210.

Media VietJack

a) Khi tàu chuyển động theo hướng đó và đi được 250m thì tàu ở độ sâu bao nhiêu so với mặt nước (làm tròn đến đơn vị mét).
Xem đáp án

a) Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

 Xét ∆ABC vuông tại C, ta có:

                  sinA=CBAB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         CB=AB.sinA=250.sin21089,6m

 Vậy khi tàu đi được 250m, thì tàu ở độ sâu là 89,6m


Câu 25:

b) Giả sử tốc độ trung bình của tàu là 9km/h thì sau bao lâu (tính từ lúc bắt đầu lặn) tàu ở độ sâu 200 mét (cách mặt nước biển 200m) làm tròn đến phút.
Xem đáp án

b)   Đổi đơn vị:  9km/h=2,5m/s 

 Gọi  ts là thời gian tàu đi để đạt được độ sâu là 200m

 Quãng đường tàu đi được trong thời gian t(s) là:

                 AB=sAB=vAB.tAB=2,5t m

 Xét ∆ABC vuông tại C, ta có:

                 sinA=CBAB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

                 sin210=2002,5t  

         t=2002,5.sin210223sphút

 Vậy thời gian tàu đi là 4 phút


Câu 26:

Một chiếc cầu trượt bao gồm phần cầu thang (để bước lên) và phần ống trượt (để trượt xuống) nối liền với nhau. Biết rằng khi xây dựng phần ống trượt cần phải đặt ống trượt nghiêng với mặt đất một góc là 500. Hãy tính khoảng cách từ chân cầu thang đến chân ống trượt nếu xem phần cầu thang như một đường thẳng dài 2,5m, ống trượt dài 3m?

Media VietJack

Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

Xét ∆CHB vuông tại H, ta có:

                  (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

          sinCBH=CHCB CH=CB.sinCBH=3.sin500m

Và:  cosCBH=HBCB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         HB=CH.cosCBH=3.cos500m

Xét ∆CHA vuông tại H, ta có:

                 AC2=AH2+CH2 (định lý Pytago)

         AH2=AC2CH2=2,523.sin5002

         AH=2,523.sin5002m

          AB=AH+HB=2,523.sin5002+3.cos5002,9m

Vậy khoảng cách từ chân cầu thang đến chân ống trượt là 2,9m


Câu 27:

Trong các phòng ở khách sạn, bên cạnh bộ khóa cửa chính còn có một phụ kiện hữu ích khác chính là door guard (chốt trượt mở an toàn). Thiết bị này phòng trường hợp khi nghe tiếng gõ cửa mà không biết chính xác được là ai. Door guard là một dạng chốt nổi, tạo một khoảng cỡ 12cm đủ để người bên trong nhận diện người bên ngoài và nói chuyện với nhau. Nếu chiều rộng cánh cửa vào khoảng 90cm. Em hãy tính góc mở cánh cửa.
Media VietJack
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

Media VietJack

Ta có: AB = AC = 90cm nên ∆ABC cân tại A

Gọi H là trung điểm BC. Khi đó AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao của ∆ABC vừa là đường phân giác của góc BAC

Xét ∆ABH vuông tại H, ta có

                 sinBAH=BHAB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

                 =BC/2AB=BC2AB=122.90=115   (vì H là trung điểm của AB)

         BAH^3,80

         BAC^=2.BAH^=2.3,87,60 (vì AH là phân giác của góc BAC)

Vậy góc mở của cánh cửa khoảng 7,60


Câu 28:

Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm. Thiết bị này có góc chiếu sáng là 200 và cần đặt cao hơn mặt đất là 2,5m. Người ta đặt thiết bị này sát tường và canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường 2m. Hãy tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất.
Media VietJack
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

Media VietJack

Xét ∆ABC vuông tại B, ta có:

                  tanBAC=BCAB=22,5=0,8 (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         BAC^38,70

Ta có:  BAD^=BAC^+CAD^=38,70+200=58,70 

Xét ∆ABD vuông tại B, ta có:    

                 tanBAD=BDAB (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         BD=AB.tanBAD=2,5.tan58,704,1m 

         CD=BDBC=4,12=2,1m 

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất là 2,1m


Câu 29:

Trên nóc của một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 500 và 400 so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của tòa nhà.
Media VietJack
Xem đáp án
Dựa vào hình vẽ bài toán, ta có:

                BC = 5m

                AD = EH = 7m

                 BAE^= 500CAE^==400 

                  CEA^=BEA^=900

 Xét ∆CAE vuông tại E, ta có:

                tanCAE=CEAE (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         CE=AE.tanCAE=AE.tan400m (1)

 Xét ∆BAE vuông tại E, ta có:

                 tanBAE=BEAE (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

         BE=AE.tanBAE=AE.tan500m (2)

 Từ (1) và (2)  BECE=AE.tan500AE.tan400 

         BC=AE.tan500tan4005=AE.tan500tan400AE=5tan500tan400m

 Từ (1)  CE=5tan500tan400.tan400m

         BH=BC+CE+EH=5+5.tan400tan500tan400+723,9m

 Vậy chiều cao của tòa nhà là 23,9m


Câu 30:

Một đồng hồ có kim giờ dài 4cm và kim phút dài 6cm. Hỏi lúc 14 giờ đúng, khoảng cách giữa hai đầu kim là bao nhiêu?
Xem đáp án

Media VietJack

Một vòng tròn có số đo góc là  3600. Đồng hồ gồm 12 góc chia đều nhau => 1 góc có số đo là  300AOB^=600.

Gọi Q là hình chiếu của A lên OB.

Xét tam giác vuông OAQ ta có   cosAOQ^=OQOAOQ=OA.cos60=2cm.

 QB=OBOQ=4cm.

Lại có   QA=OA2OQ2=23cm.

Xét tam giác vuông  ABQ ta có  AB=QB2+QA2=42+232=27cm.


Câu 31:

Ở các nước xứ lạnh, vào mùa Đông thường có tuyết rơi dày đặc khắp các con đường, trẻ em tại đây rất thích đắp hình dạng của người tuyết. Có thể xem phần thân dưới và thân trên của người tuyết là hai hình cầu tiếp xúc nhau. Em hãy tính kích thước của hai viên tuyết cần đắp để được một người tuyết cao 1,8m biết rằng đường kính của phần thân dưới phải gấp đôi đường kính của phần thân trên người tuyết.
Xem đáp án
Hình vẽ minh họa bài toán:
Media VietJack
Ta có: 1,8m = 180cm
Gọi r (cm) là bán kính của đường tròn nhỏ
=> Đường kính của đường tròn nhỏ là 2r (cm) (r > 0)
=> Đường kính của đường tròn lớn là: 2.2r = 4r (cm)
Ta có: 2r + 4r = 180 (vì (O) tiếp xúc với (O’))
6r=180r=30cm
Vậy để đắp người tuyết có chiều cao là 1,8m thì ta cần đắp hai quả cầu tuyết có đường kính lần lượt là 60cm và 120cm.

Câu 32:

Một vệ tinh nhân tạo địa tĩnh chuyển động theo quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất một khoảng , tâm quỹ đạo vệ tinh trùng với tâm O của Trái Đất. Vệ tinh phát tính hiệu vô tuyến theo đường thẳng đến một vị trí trên mặt đất. Hỏi vị trí xa nhất trên Trái Đất có thể nhận tín hiệu từ vệ tinh này cách vệ tinh một khoảng là bao nhiêu km? (ghi kết quả gần đúng chính xác đến hàng đơn vị). Biết rằng Trái Đất được xem như một hình cầu có bán kính 6400km.

Media VietJack

Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

Media VietJack

Ta có: CO = CE + EO = 36000 + 6400 = 42400km

Xét ∆COA vuông tại A (vì CA là tiếp tuyến của (O) nên CA  OA)

         CO2=CA2+OA2 (định lí Pytago)

         CA2=CO2OA2=42400264002 

          CA=4240026400241914,2km 

Vậy vị trí xa nhất trên Trái Đất có thể nhận tín hiệu của vệ tinh cách vệ tinh khoảng 41914,2km


Câu 33:

Khí cầu là một túi đựng không khí nóng, thường có khối lượng riêng nhỏ hơn không khí xung quanh và nhờ vào lực đẩy Ác-si-mét có thể bay lên cao. Giả sử có thể xem khinh khí cầu là một khối cầu và các dây nối sẽ tiếp xúc với khối cầu này. Hãy tính chiều dài của các dây nối để khoảng cách từ buồng lái đến điểm thấp nhất của khí cầu là 8m. Biết rằng bán kính của khối cầu này là 10m.

Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

Media VietJack

Ta có: OB = OC = OD = R = 10m

         OA = AD + DO = 8 + 10 = 18m

Xét ∆ABO vuông tại B (vì AB là tiếp tuyến của (O))

         OA2=OB2+AB2 (định lí Pytago)

         AB2=OA2OB2=182102=224

         AB=224=41415m

Vậy chiều dài của các dây nối thỏa yêu cầu bài toán là 15m.


Câu 34:

Người ta muốn xây dựng một cây cầu bắc qua một hồ nước hình tròn có bán kính 2km. Hãy tính chiều dài của cây cầu để khoảng cách từ cây cầu đến tâm của hồ nước là 1732m.
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

Ta có: OA = OB = 2km (gt)

Gọi H là trung điểm của AB, dây AB không qua tâm O

         OH vuông với AB tại H (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

Xét ∆OHA vuông tại H

         OA2=OH2+AH2 (định lý Pytago)

         AH2=OA2OH2=221,7322

         AH=221,73221km

Ta có:  AB=2AH=2.1=2km (vì H là trung điểm của AB)

Vậy chiều dài của cây cầu là khoảng 2km.


Câu 35:

Một bánh xe có dạng hình tròn bán kính 20cm lăn đến bức tường hợp với mặt đất một góc 600. Hãy tính khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe đến góc tường.

Media VietJack

Xem đáp án

Khi bánh xe chạm tới bức tường thì không thể di chuyển vào thêm được nữa. Điều này có nghĩa khoảng cách của tâm bánh xe đến góc tường ngắn nhất là khi bánh xe tiếp xúc với bức tường và mặt đất.

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

 Ta có: OB = OC = 20cm (gt)

                 BAC^=600 (gt)

                 OAB^=12BAC^=12.600=300 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

 Xét ∆OAB vuông tại B (vì AB tiếp tuyến của (O) nên AB vuông với OB)

         sin BAO^=OBOA (tỉ số lượng giác góc nhọn)

         OA=OB=20sin300=40cm

 Vậy khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe đến góc tường là 40cm.


Câu 36:

Đường hầm vượt eo biển Măng-sơ nối hai nước Anh và Pháp có chiều dài khoảng 51km. Giả sử rằng vị trí hai đầu đường hầm thuộc Anh và Pháp nằm trên cùng một kinh tuyến ở bề mặt Trái Đất (Trái Đất được xem như một hình cầu có bán kính 6400km). Hãy tính độ sâu nhất của đường hầm so với bề mặt Trái Đất.
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

Ta có: AP = 51km, OP = 6400km (gt)

Kẻ OH   AP tại C

 C là trung điểm của AP (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

 PC=CA=AP2=512=25,5km 

Xét ∆OCP vuông tại C

 sin POC^=PCOP=25,56400=0,398 (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

  POC^23030'

Và: cos POC^=OCOP  (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

 OC=OP.cosPOC=6400.cos23030'5869km

            CH=OHOC=64005864=53,1km

Vậy độ sâu nhất của đường hầm so với bề mặt Trái Đất là 531km.


Câu 37:

Một quả cầu gỗ có bán kính là R = 5cm được đặt trên một cái đế bằng gỗ có dạng là một nửa mặt cầu bán kính bằng  R2. Hãy tính khoảng cách từ mặt đất đến điểm cao nhất của mặt cầu gỗ.
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

Gọi H là trung điểm của AB và dây AB không qua tâm O

OH   AB (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

Ta có:  AB=2.R2=R (vì AB là đường kính)

 Xét ∆OAB có: OA = OB = AB = R

∆OAB đều

 OAB^=600 hay  OAH^=600

Xét ∆AHO vuông tại H

 cos OAH^=OHOA (tỉ số lượng giác góc nhọn)

  OH=OAcos OAH^=Rcos600=R.32 

 ED=OE+OH+HD=R+R32+R2=R3+32=53+3211,83cm

Vậy chiều cao của quả cầu gỗ là 11,83cm.


Câu 38:

Dây Cu-roa là một trong những bộ truyền được sử dụng rộng rãi trong công nghiệp. Chiều dài dây cu-roa được xác định theo công thức:

 L=2a+πd1+d22+d2d124a

Trong đó:       

        L: Chiều dài dây cu-roa.

        a: Khoảng cách tâm của 2 pu-ly.

        d1: Đường kính của pu-ly 1 (hình tròn nhỏ màu vàng)

        d2: Đường kính của pu-ly 2 (hình tròn lớn màu vàng)

Media VietJack

Cho:

d1=10cm,d2=20cm,a=60cm

        a) Tính chiều dài của dây cu-roa.

b) Gọi AB là chiều dài một đoạn dây cu-roa, trong đó A, B lần lượt là tiếp điểm trên của dây cu-roa với 2 đường tròn tạo bởi mặt cắt của 2 pu-ly. Tính AB.

Xem đáp án

a) Thay d1 = 10, d2 = 20, a = 60 vào công thức  L=2a+πd1+d22+d2d124a, ta được:

                 L=2.6+π10+202+201024.6=1445+180π1268094cm

b) Hình vẽ minh họa bài toán:

  Media VietJack

Vẽ O’C vuông góc với OB (C thuộc OB)

Xét tứ giác CABO’ có:  C^=A^=B^=900 (vì AB là tiếp tuyến chung của (O), (O’) và O’C   OB)

         Tứ giác O’ABC là hình chữ nhật

         AC = BO’

         OC = OA – AC = OA – O’B = R – r = 20 – 10 = 10cm

 Xét ∆OCO’ vuông tại C

         OO'2=OC2+O'C2 (định lý Pytago)

         O'C2=OO'2OC2=602102=3500

         O'C=3500=1035cm

         AB=O'C=1035cm (vì O’ABC là hình chữ nhật)


Câu 39:

Vinasat-1 là vệ tinh viễn thông địa tĩnh đầu tiên của Việt Nam được phóng vào vũ trụ lúc 22 giờ 17 phút ngày 18 tháng 4 năm2008 (giờ UTC). Dự án vệ tinh Vinasat-1 đã khởi động từ năm 1998 với tổng mức đầu tư là khoảng hơn 300 triệu USD. Việt Nam đã tiến hành đàm phán với 27 quốc gia và vùng lãnh thổ để có được vị trí 132 độ Đông trên quỹ đạo địa tĩnh.

Hãy tìm khoảng cách từ vệ tinh Vinasat-1 đến mặt đất. Biết rằng khi vệ tinh phát tín hiệu vô tuyến đến một điểm xa nhất trên mặt đất thì từ lúc phát tín hiệu đến mặt đất cho đến lúc vệ tinh thu lại được tín hiệu phản hồi mất khoảng thời gian là 0,28s. Trái đất được xem như một hình cầu có bán kính khoảng 6400km. (ghi kết quả gần đúng chính xác đến hàng đơn vị), giả sử vận tốc sóng vô tuyến là 3.108 m/s.

Media VietJack
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

Do thời gian từ lúc truyền tín hiệu đến lúc nhận lại tín hiệu là 0,28s, nên thời gian tín hiệu truyền từ A đến M là: 0,28 : 2 = 0,14 (s)

Độ dài đoạn AM cũng là quãng đường tín hiệu truyền đi được trong 0,14s.

                S = AM = v.t = 3.108.0,14 = 42.106m = 42000km

Vị trí xa nhất trên trái đất có thể nhận tín hiệu từ vệ tinh là vô số điểm M (với AM là tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn tâm O)

Vì AM là tiếp tuyến (O)  OMAM tại M

Xét tam giác vuông AMO, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

                 OA2=OM2+MA2=64002+420002=1804960000

         OA=42485km

Khoảng cách từ vệ tinh Vinasat-1 đến mặt đất là độ dài đoạn AH:

                 AH=AOOH=424856400=36085km 


Câu 40:

Sóng cực ngắn có tần số 30 - 30000MHz. Năng lượng rất lớn, không bị tầng điện ly hấp thụ, truyền đi rất xa (> 2200km) theo đường thẳng. Dùng trong thông tin liên lạc vũ trụ, ra đa và truyền hình. Tại một thời điểm có hai vệ tinh đang ở hai vị trí A và B cùng cách mặt đất 230km, một tín hiệu (truyền bằng sóng cực ngắn) được truyền đi từ vệ tinh A truyền đến vệ tinh B theo phương AB. Hỏi vệ tinh B có nhận được tín hiệu đó không? Biết khoảng cách giữa A và B theo đường thẳng là 2200km và bán kính Trái Đất là 6400km.

Media VietJack
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

Kẻ  OHABHAB 

Gọi M, N lần lượt là giao điểm của OA, OB với đường tròn (O).

Ta có:  AM=BN=230km (gt)

                   OM=ON=R=6400km 

         OA=OB=AM+OM=230+6400=6630km 

        ΔAOB có OA = OB nên là tam giác cân tại O.

         OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.

        H là trung điểm AB.

         HA=HB=AB2=22002=1100km 

Ta có: ∆AOH vuông tại H

         OA2=OH2+AH2 (định lý Pytago)

         OH2=OA2AH2

        OH=OA2AH2=66302110026538km 

Do  OH>R6538km>6400km nên vệ tinh ở vị trí B có thể nhận được tín hiệu do vệ tinh ở vị  trí A truyền tới theo phương AB.


Câu 41:

Để giúp xe lửa chuyển từ một đường ray từ hướng này sang một đường ray theo hướng khác, người ta làm xen giữa một đoạn đường ray hình vòng cung (hình bên). Biết chiều rộng của đường ray là  AB1,1m, đoạn  BC28,4m. Hãy tính bán kính OA = R của đoạn đường ray hình vòng cung?

Media VietJack

Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

Thanh ray trùng với BC tiếp xúc với đường tròn (O, OB) tại B nên là tiếp tuyến của đường tròn (O, OB)  BCOB OA cắt đường tròn (O, OA) tại điểm D  DA   AD=2R 

∆ACD nội tiếp đường tròn (O, OA) có đường kính AD nên là tam giác vuông tại C.

Xét ∆ACD vuông tại C, đường cao BC, ta có:

      CB2=AB.BD  (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

         CB2=ABADABCB2=AB2RAB28,42=1,22R1,1

         2R=807,77R=367,2m


Câu 42:

Một chiếc cầu được thiết kế như hình bên dưới có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB, (MK đi qua tâm của đường tròn chứa cung AMB)
Media VietJackMedia VietJack
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

Gọi đường tròn (O; R) là đường tròn chứa cung AMB (như hình vẽ)

Do MK là chiều cao => MK vuông góc với AB tại K

Gọi MN là đường kính của đường tròn (O)

MK đi qua tâm O => N, O, K, M thẳng hàng

MN vuông góc với AB tại K => K là trung điểm AB

         KA=KB=AB2=402=20m

Ta có: ΔAMN nội tiếp đường tròn (O), có cạnh MN là đường kính

         ΔAMN vuông tại A

Xét ΔKAN và ΔKMA, ta có:

                 AKN^=MKA^=900

                 MAK^=ANK^ (vì cùng phụ góc AMN)

         ΔKAN ΔKMA (g.g)

KAKM=KNKAKA.KA=KN.KMKA2=MNKM.KMKA2=2RKMKM

 202=2R3.3400=6R96R=409R68,17m

 Vậy bán kính của đường tròn chứa cung AMB là 68,17m


Câu 43:

Một ngọn đèn hải đăng cao 85m đặt tại bờ biển có góc nâng của đèn không quá 850 so với phương thẳng đứng. Biết rằng ánh sáng của ngọn đèn hải đăng phát ra xem như một đường thẳng và đèn có thể xoay tròn xung quanh ngọn hải đăng. Một cây cầu bắc qua biển (rất dài) cách ngọn đèn hải đăng 750m. Hỏi ánh sáng của ngọn đèn hải đăng có chiếu sáng được một đoạn của chiếc cầu hay không? Nếu có hãy tính độ dài đoạn cầu được chiếu sáng đó.
Media VietJack
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

Xét ∆OBC vuông tại O

         tan OBC^=OCOB (tỉ số lượng giác góc nhọn)

         OC=OB.tan OBC^=85.tan850971,6m 

Ta có: 971,6 > 750 do đó đèn chiếu sáng được một đoạn của chiếc cầu

Xét ∆OHD vuông tại H

         OD2=OH2+HD2 (định lý Pytago)

         HD2=OD2OH2=971,627502

         HD=971,627502617,7m

         AD=2HD=2.617,7=1235,4m

Vậy độ dài đoạn cầu được chiếu sáng là khoảng 1235,4m.


Câu 44:

Ở một nước nọ, có một hòn đảo hình tròn ở ngoài biển. Hãy xác định vị trí để làm một cái cầu AB (A là một điểm trên đất liền, B là một điểm trên đảo) sao cho độ dài của cây cầu là ngắn nhất.

Media VietJack

Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

Xét 3 điểm O, A, B ta có:  ABOAOB (bất đẳng thức tam giác)

Vì OH   AB nên OA   OH (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

         ABOHOB

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A   H và B nằm giữa A và O

Vậy để độ dài của chiếc cầu là ngắn nhất, ta đặt vị trí của A và B như sau: A là hình chiếu của O lên d, B là giao điểm của OH và (O)


Câu 45:

Hai hòn đảo xem như hình tròn có khoảng cách từ tâm hòn đảo này đến tâm hòn đảo kia là khoảng 950m. Biết rằng đảo lớn có bán kính khoảng 500m, còn đảo nhỏ có bán kính khoảng 200m. Người ta cần xây dựng một cây cầu bắc từ đảo này sang đảo kia. Em hãy chọn vị trí để xây cây cầu sao cho chiều dài cây cầu là ngắn nhất, khi đó hãy tính chiều dài này.
Xem đáp án

Hình vẽ minh họa bài toán:

 Media VietJack

Xét 3 điểm O’, A, B ta có:  ABO'AO'B

Xét 3 điểm O’, O, A ta có:  O'AOO'OA

         ABOO'OAO'B=950500300=150m 

Dấu “=” xảy ra khi O, A, B, O’ thẳng hàng theo thứ tự đó

Vậy ta nên đặt cầu trên đoạn nối tâm của hai đảo thì cây cầu sẽ có chiều dài ngắn nhất là 150m.


Câu 46:

Ngày 12 tháng 4 năm 1961, nhà du hành vũ trụ đầu tiên của Trái Đất Gagarin đã bay vào không gian trên con tàu vũ trụ Phương Đông ở độ cao cách mặt đất 327km . Hỏi ở vị trí đó Gagarin có thể quan sát thấy một địa điểm trên mặt đất với khoảng cách xa nhất là bao nhiêu km (ghi kết quả gần đúng chính xác đến hàng đơn vị) biết rằng Trai Đất được xem như một hình cầu có bán kính khoảng 6400 km (tính theo km, làm tròn đến hàng đơn vị).
Xem đáp án

Theo đề bài ta có hình vẽ, M là vị trí của Gagarin, MA=327km

Vì T là điểm nhìn xa tối đa nên MT là tiếp tuyến của đường tròn (đường tròn coi như là trái đất)

              Media VietJack

Xét  ΔMTA & ΔMBT coA^ chungMTA^=MBT^=12sđATΔMTA~ΔMBT(g.g) 

 MTMB=MAMTMT2=MA.MB,

 mà  MB=MA+AB=327+2.6400=13127 (AB là đường kính trái đất)  MT2=327.13127=4292529MT2072

Vậy Gagarin có thể nhìn thấy một địa điểm T trên biển tối đa là 2072km.


Câu 50:

Từ 1 giờ đến 3 giờ thì kim giờ quay được một góc ở tâm là bao nhiêu độ? Hãy trả lời câu hỏi trên khi kim giờ quay từ 3 giờ đến 6 giờ?
Media VietJack
Xem đáp án
Kim giờ đồng hồ quay hết một vòng, nghĩa là với góc quay là 3600 thì tương ứng với thời gian là 12 giờ. Kim giờ đồng hồ quay từ 1 giờ đến 3 giờ tương ứng với thời gian là 2 giờ
=> Góc quay được sẽ là: 2.360012=600
 Kim đồng hồ quay từ 3 giờ đến 6 giờ tương ứng với thời gian là 3 giờ
=> Góc quay được sẽ là: 3.360012=900

Câu 51:

Trái Đất quay quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo xem như là đường tròn có bán kính là 150 triệu km. Giả sử rằng cứ hết 1 năm thì Trái Đất quay được một vòng quanh Mặt Trời. Biết rằng 1 năm có khoảng 365 ngày, hãy tính quãng đường đi được của Trái Đất sau 1 ngày.

Xem đáp án
Trái Đất đi hết một vòng quanh Mặt Trời, nghĩa là quay được một góc 3600 thì hết 365 ngày.
Vậy sau 1 ngày, Trái Đất quay được 1 góc là: 1.3600365=72730
Độ dài cung tròn 72730 là : π.150000000.7273360=1291065,5(km)
Vậy sau 1 ngày Trái Đất di chuyển được một đoạn dài 1291065,5km.

Câu 52:

Vĩ độ của Hà Nội là 20001’. Mỗi vòng kinh tuyến của Trái Đất dài 40000km.

a) Tìm bán kính của Trái Đất.

Xem đáp án
a) Vòng kinh tuyến của Trái Đất dài 40000km, nghĩa là chu vi của đường tròn lớn là 40000km.
Ta có: C=2π.RR=C=400006366,2  km
Vậy bán kính Trái Đất vào khoảng 6366,2km.

Câu 53:

b) Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến xích đạo.
Xem đáp án
b) Vĩ độ của Hà Nội là 20001’, nghĩa là góc hợp bởi đường thẳng đi qua tâm Trái Đất và Hà Nội với Xích Đạo là 20001’. Ta có hình ảnh sau:
Media VietJack
Trong đó:
+ Điểm B đại diện cho Hà Nội
+ Điểm A là một điểm nằm trên đường Xích Đạo có cùng kinh độ với Hà Nội
Độ dài cung AB là: π.6366,2.20,01180=2223,3  km
Vậy cung kinh tuyến từ Hà Nội đến Xích Đạo là 2223,3km.

Câu 54:

Bánh xe đạp bơm căng có đường kính là 73cm.

 a) Hỏi xe đạp đi được bao nhiêu km nếu bánh xe quay được 1000 vòng?
Xem đáp án
a)  Chu vi của bánh xe là: C=π.d=π.73229,3  cm
Khi quay 1000 vòng nghĩa là bánh xe đi được một đoạn là: 1000.229,3=2293000  cm
 Nghĩa là đi được 2,293km.

Câu 55:

b) Hỏi bánh xe quay được bao nhiêu vòng khi xe đi được 4km?

Xem đáp án
b)  Ta có: 4km = 400 000cm.
Số vòng bánh xe quay được là: 400000229,31745vòng.

Câu 56:

Máy kéo nông nghiệp có hai bánh sau to hơn hai bánh trước. Khi bơm căng, bánh xe sau có đường kính là 1,672m và bánh xe trước có đường kính là 88cm (tính từ tâm bánh xe đến mép ngoài của bánh xe). Hỏi khi xe chạy trên đoạn đường thẳng, bánh xe sau lăn được 10 vòng thì xe di chuyển được bao nhiêu mét và bánh xe trước khi đó lăn được mấy vòng?
Media VietJack
Xem đáp án

Chu vi của bánh xe sau:

                 Csau=3,14.dsau=3,14.1,672=5,25008  m (d: là đường kính của bánh xe)

Chu vi của bánh xe trước:

Ctr=3,14.dtr=3,14.0,88=2,7632  m

 Cứ một vòng quay của bánh xe sau, thì xe đi được quãng đường bằng chu vi của bánh xe. Vậy khi bánh xe sau lăn được 10 vòng, thì xe di chuyển được đoạn đường là:

 S=10.5,25008=52,5008  m

Khi đó, bánh xe trước đã lăn được số vòng là: ntr=SCtr=52,50082,7632=19 (vòng)

Vậy: Khi bánh xe sau lăn được 10 vòng thì xe di chuyển được đoạn đường 52,5008 mét và bánh xe trước khi đó lăn được 19 vòng.


Câu 57:

Có ba bánh xe răng cưa A, B, C cùng chuyển động ăn khớp với nhau. Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo. Bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng. Biết bán kính bánh xe C là 11cm. Hỏi:

a) Khi bánh xe C quay 60 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?

Xem đáp án
Ta có bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng nên suy ra chu vi của bánh xe B gấp đôi chu vi bánh xe C, chu vi bánh xe A gấp ba chu vi bánh xe C.
Chu vi bánh xe C là: 2πRC=2π.1=2π cm
Chu vi bánh xe B là: 2π.2=4π cm
 Chu vi bánh xe A là:  2π.3=6πcm
a) Khi bánh xe C quay được 60 vòng thì quãng đường đi được là: 60.2π=120π cm
Khi đó, số vòng quay của bánh xe B là: 120π4π=30(vòng)

Câu 58:

b) Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay mấy vòng?
Xem đáp án
b) Khi bánh xe A quay được 80 vòng thì quãng đường đi được là: 80.6π=480π cm
Khi đó, số vòng quay của bánh xe B là: 480π4π=120 (vòng)

Câu 59:

c) Bán kính của các bánh xe A và B là bao nhiêu?
Xem đáp án
c) Bán kính của bánh xe B là: RB==2 cm
 Bán kính của bánh xe A là: RA==3 cm

Câu 60:

Một vườn có hình chữ nhật ABCD có AB = 40m, AD = 30m. Người ta muốn buộc hai con dê ở hai góc vườn A, B. Có hai cách buộc:

        Cách 1: Mỗi dây thừng dài 20m.

Cách 2: Một dây thừng dài 30m và dây thừng kia dài 10m.

Hỏi với cách buộc nào thì diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn?

Xem đáp án
Theo cách buộc thứ nhất thì diện tích cỏ dành cho mỗi con dê là bằng nhau
Mỗi diện tích là 14 hình tròn bán kính 20m.
14π.202=100π m2
Cả hai diện tích là: S1=2.100π=200π m2 (1)
Theo cách buộc thứ hai, thì diện tích cỏ dành cho con dê buộc ở A là:
SA=14π.302=225π m2
 Diện tích cỏ dành cho con dê buộc ở B là:
SB=14π.102=25π m2
Diện tích cỏ dành cho hai con dê là:
S2=SA+SB=225π+25π=250π m2
So sánh (1) và (2) ta thấy với cách buộc thứ hai thì diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn.

Câu 61:

Một chiếc bánh pizza đường kính 30cm được bán với giá 300 000 VNĐ còn một chiếc bánh pizza cùng loại với đường kính 40cm được bán với giá 400 000 VNĐ. Em hãy cho biết nên mua chiếc bánh nào thì có lợi hơn.

Xem đáp án
Diện tích chiếc bánh pizza đường kính 30cm là: S1=π.3024=225π  cm2
Diện tích chiếc bánh pizza đường kính 40cm là: S2=π.4024=400π  cm2
Ta có: S1300000=225π300000=4000 và S2400000=400π400000=π1000
Vì  4000<π1000 nên S1300000<S2400000
Vậy nên mua bánh pizza loại 400 000 VNĐ sẽ được lợi hơn.

Câu 62:

Người ta làm một vườn hoa gồm hai hình tròn tâm A và tâm B tiếp xúc ngoài với nhau. Cho biết khoảng cách AB = 5m và diện tích của vườn hoa là  13,48πm2. Tính bán kính mỗi hình tròn.

Media VietJack
Xem đáp án
Gọi x  m,y m lần lượt là bán kính của hình tròn (A) và (B) 0<y<x<5
Theo đề bài, ta có hệ phương trình: x+y=5                   π.x2+π.y2=13,48π
y=5x           x2+y2=13,4812
Thay (1) vào (2) ta được x2+5x2=13,48
x2+2510x+x213,48=02x210x+11,52=0x25x+5,76=0 *
Ta giải phương trình (*) được 2 nghiệm là:x1=3,2 hoặc x2=1,8
Thay x1=3,2 vào (1) ta được y1=53,2=1,8 (nhận)
Thay x2=1,8vào (1) ta được y2=51,8=3,2 (loại)
Vậy bán kính hình tròn (A) là 3,2m và bán kính của hình tròn (B) là 1,8m.

Câu 63:

Nhà thiết kế muốn thiết kế một chiếc nhẫn có dạng như hai vòng tròn đồng tâm (hình bên dưới). Cần thiết kế nhẫn cho người đeo cỡ 7 (đường kính vào khoảng 15mm). Em hãy tính diện tích một bề mặt của chiếc nhẫn biết rằng khi sử dụng thước cặp pan-me để đo thì đường kính mà thước đo được là 17mm.

Media VietJack

Xem đáp án

Phần diện tích cần tính là hình vành khăn. Kích cỡ đeo nhẫn chính là đường kính của đường tròn nhỏ, còn thước kẹp pan-me đo được đường kính của đường tròn lớn.

Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:

Media VietJack

Phần diện tích cần tính là diện tích của hình vành khăn tạo bởi hai đường tròn đồng tâm O có đường kính lần lượt là 17mm và 15mm.

        Vậy diện tích bề mặt là:  π.1724π.1524=16.π50,3 (mm2)


Câu 64:

Người ta muốn may một chiếc khăn để phủ một chiếc bàn hình tròn có đường kính 76cm sao cho khăn rũ xuống mép bàn 10cm. Hỏi:

a) Diện tích vải cần dùng để may khăn trải bàn.

Xem đáp án
a)  Bán kính mặt bàn là: 762=38  cm
 Bán kính của khăn rũ xuống mép bàn 10cm là: 38+10=48  cm
 Diện tích vải cần dùng để may trải bàn là: π.4827238,2  cm2

Câu 65:

b) Người ta lại muốn ghép thêm riềm khăn rộng 2cm. Diện tích vải cần dùng để may riềm khăn.
Xem đáp án
b) Tính diện tích của riềm khăn thực chất là tính diện tích của hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm là khăn bàn và khăn bàn cả riềm khăn.
 Bán kính của khăn bàn kể cả riềm là: 48+2=50  cm
 Diện tích khăn bàn kể cả riềm là: π.5027854  cm2
Vậy diện tích vải cần dùng để may riềm khăn là: 78547238,2615,8  cm2

Câu 66:

Một viên gạch hình vuông có cạnh là 30cm được thiết kế như hình vẽ. Người ta dựng một cung tròn có tâm là một đỉnh của viên gạch với bán kính bằng 30cm, sau đó dựng thêm một cung tròn nữa như vậy nhưng có tâm là đỉnh đối diện với đỉnh trên. Em hãy tính diện tích phần giao nhau của hai cùng tròn đó.

Media VietJack

Xem đáp án

Media VietJack

 Diện tích cần tính là tổng diện tích hình viên phân của đường tròn tâm A bán kính AB cung BD và diện tích hình viên phân của đường tròn tâm C bán kính CB cung BD. Gọi S1 là diện tích hình viên phân của đường tròn tâm A và S2 là diện tích hình viên phân của đường tròn tâm C.

        SΔABD=12AD.AB=12.302=450  cm2

 

Diện tích hình quạt ADB là:   Squat ADB=π.302.90360=225π  cm2

         S1=Squat ADBSΔABD=225π450256,9  cm2

Tương tự:  S2256,9  cm2

         S1+S2=256,9+256,9=513,8  cm2

Vậy diện tích cần tính là 513,8 (cm3)


Câu 67:

Thùng của một xe tải có dạng là một hình hộp chữ nhật có các kích thước như hình bên dưới:

Media VietJack

a) Tính thể tích của thùng chứa.

b) Nếu 1m3 cát nặng 1,6 tấn và xe chở đến   34  trọng tải của nó thì sức nặng của cát lúc đó là bao nhiêu?

Xem đáp án

a)  Thể tích của thùng chứa là:  3,1.7.1,6=34,72  m3

b) Thể tích của cát trong xe lúc này là:  34.34,72=26,04 (m3)

 Sức nặng của cát khi xe chở đến 34 trọng tải của nó là:  26,04.1,6=41,664 (tấn)


Câu 68:

Một bóng đèn huỳnh quang dài 1,2m, đường kính của đường tròn đáy là 4cm, được đặt khít vào một ống nhựa cứng dạng hình hộp.

a) Tính diện tích phần giấy cứng dùng để làm một hộp. (Hộp hở hai đầu, không tính lề và mép dán)

Xem đáp án

a) Diện tích phần giấy cứng cần tính chính là diện tích xung quanh của một hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh 4cm, chiều cao là 1,2m = 120cm

Diện tích xung quanh của hình hộp:

                 Sxq=4.4.120=1920  cm2=0,192  m2


Câu 69:

b) Tính giá thành bìa cứng dùng để làm 10 hộp đèn, cho biết giá bìa là 10,800 đồng một m2 bìa cứng.
Xem đáp án
b) Diện tích bìa cứng để làm 10 chiếc hộp là: 10.0,192=1,92  m2
Giá tiền bìa cứng làm 10 hộp là: 1,92.10,800=20736 (đồng)

Câu 72:

Thùng phuy hay thùng phi là một vật dụng hình ống dùng để chứa và chuyên chở chất lỏng với dung tích lớn. Mỗi thùng phuy có đường kính nắp và đáy là: 584mm, chiều cao là 876mm. Hãy tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của thùng phuy?
Xem đáp án
Media VietJack
Coi thùng phuy là hình trụ, bán kính đáy là: R=5842=292  mmvà chiều cao h = 876 (mm)
Diện tích xung quanh thùng phuy: Sxq=2πRh=2π.292.876=511584  mm2

Diện tích toàn phần thùng phuy: Stp=2πRh+2πR2=511584π+2π.2922=682112π  mm2

Thể tích thùng phuy: V=πR2h=π.2922.876=74691264π  mm3


Câu 74:

b) Tính thể tích của hồ bơi? Lúc này người ta đổ vào trong đó 120 000 lít nước. Tính khoảng cách của mực nước so với mặt hồ? (1m3 = 1000 lít).
Xem đáp án
b)  Thể tích của hồ bơi là: 6.12,5.2=150  m3
  Thể tích của nước trong hồ là: 120000:100=120  m3
 Chiều cao của nước trong hồ là:  12075=1,6  m
  Khoảng cách của mực nước so với mặt hồ là: 21,6=0,4  m .

Câu 76:

b) Người ta đổ thêm vào bể 60 thùng nước nữa thì đầy bể. Hỏi bể cao bao nhiêu mét?
Xem đáp án

b)  Thể tích của 60 thùng nước là:

                 V2=20.60=1200 (lít) = 1,2 (m3)

 Thể tích của bể là:

                 V=V1+V2=2,4+1,2=3,6  m3

 Chiều cao của bể là:  3,61,5.2=1,2  m 


Câu 78:

b) Hỏi xô nước đã làm có thể chứa được tối đa bao nhiêu lít nước?

Xem đáp án

b) Thể tích của cái xô là:  V=13πhR2+Rr+r2=13.3,14.25.202+20.10+102=18316  cm3

 Vậy thể tích nước mà xô có thể chứa là 18,316 lít.


Câu 79:

Một hồ bơi có dạng là một lăng trụ đứng tứ giác với đáy là hình thang vuông (mặt bên (1) của hồ bơi là 1 đáy của lăng trụ) và các kích thước như đã cho (xem hình vẽ). Biết rằng người ta dùng một máy bơm với lưu lượng là 42m3/phút và sẽ bơm đầy hồ mất 25 phút. Tính chiều dài của hồ.
Media VietJack
Xem đáp án

Gọi  x m là chiều dài của hồ  x>0

Diện tích hình thang vuông là:  3+0,5.x2=1,75x m2

Thể tích của hồ là:  1,75x.6=10,5x m3

Theo đề bài, ta có phương trình:  10,5x=25.42x=100 (nhận)

Vậy chiều dài của hồ là 100m.


Câu 80:

Nón lá dùng để che nắng, mưa, làm quạt khi nóng. Ngày nay nón lá cũng được xem là món quà đặc biệt cho du khách khi đến tham quan Việt Nam.

Biết một nón lá có đường kính vành là 50cm, đường sinh của nón là 35cm. Hãy tính thể tích của một nón lá.

Xem đáp án
Media VietJack
Gọi bán kính mặt đáy nón là R và đường sinh AC là l thì  R=502=25  cm và l = 35 (cm); OA = h
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AOC: OA2=AC2OC2=352252=600
OA=106  cm

Thể tích nón lá: V=13π R2h=13π.252.106=625036.π  cm3

Câu 81:

Nón lá dùng để che nắng, mưa, làm quạt khi nóng. Ngày nay nón lá cũng được xem là món quà đặc biệt cho du khách khi đến tham quan Việt Nam.

Biết một nón lá có đường kính vành là 50cm, đường sinh của nón là 35cm. Hãy tính thể tích của một nón lá.

Xem đáp án
Media VietJack
Gọi bán kính mặt đáy nón là R và đường sinh AC là l thì  R=502=25  cm và l = 35 (cm); OA = h
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AOC: OA2=AC2OC2=352252=600
OA=106  cm

Thể tích nón lá: V=13π R2h=13π.252.106=625036.π  cm3

Câu 82:

Người ta gắn một hình nón có bán kính đáy R = 8cm, độ dài đường cao h = 20 cm vào một nửa hình cầu có bán kính bằng bán kính hình nón (theo hình bên dưới). Tính giá trị gần đúng thể tích của hình tạo thành (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Media VietJack

Xem đáp án

Thể tích của một nửa hình cầu là:

                 V1=12.43πR3=23π.83=10243π cm3

Thể tích của hình nón là:

                 V2=13Sh=13.π R2.h=13π.82.20=12803π cm3

Thể tích của hình tạo thành là:

                 V=V1+V2=10243π+12803π=768π=2413  cm3

Câu 84:

Tính lượng vải cần mua để tạo ra nón của chú Hề trong hình bên. Biết rằng tỉ lệ khâu hao vải khi may nón là 15%.

Media VietJack

Xem đáp án

Bán kính của hình nón là:  r=3510.22=7,5 cm

 Sxq=π.r.l=π.7,5.30=225π cm2

 Svành nón=Stròn toStròn bé=π.3522π.7,52=250π cm2

Diện tích vải cần có để làm nên cái mũ là tổng diện tích xung quanh của hình nón và diện tích vành nón với phần bị hao hụt 15% là:  S=225π+250π+15%.225π+250π1716  cm2


Câu 85:

Một con quạ đang khát nước. Nó bay rất lâu để tìm nước nhưng chẳng thấy một giọt nước nào. Mệt quá, nó đậu xuống cành cây nghỉ. Nó nhìn xung quanh và bỗng thấy một cái ly nước ở dưới một gốc cây. Khi tới gần, nó mới phát hiện ra rằng cái ly nước có dạng hình trụ: chiều cao là 15cm , đường kính đáy là 6cm , lượng nước ban đầu trong ly chỉ cao 5cm , cho nên nó không thể uống được nước. Nó thử đủ cách để thò mỏ được đến mặt nước, nhưng mọi cố gắng của nó đều thất bại. Nó nhìn xung quanh, nó thấy những viên sỏi hình cầu có cùng đường kính là 3cm nằm lay lắt ở gần đấy. Lập tức, nó dùng mỏ gắp 15 viên sỏi thả vào ly. Hỏi sau khi thả 15 viên sỏi, mực nước trong ly cách miệng ly bao nhiêu cm ? (P/S: chuyện hơi ly kỳ một tí, mong các bạn đừng “ném đá”, hãy chỉ chú ý đến kiến thức Toán trong câu chuyện).

Xem đáp án

Hình vẽ minh họa cho bài toán trên:

 Media VietJack

Diện tích đáy của ly nước:  S=πD24=π.624=9π cm2

Thể tích của cái ly:  V=S.h=9π.15=135π cm3

Thể tích nước trong ly:  Vn=S.hn=9π.5=45πcm3 

Bán kính viên sỏi:  RS=32=1,5  cm

Thể tích của một viên sỏi:  V1S=43π.RS3=43π.1,53=92π cm3

Thể tích của 15 viên sỏi:  V15S=V1S.15=92π.15=1352π cm3

Sau khi cho 15 viên sỏi vào trong ly nước, tổng thể tích của nước và 15 viên sỏi là:

                 Vns=Vn+V15S=45π+1352π=2252π cm3

Thể tích phần ly mà nước chưa dâng lên tới là:

                 Vt=VVns=135π2252π=452π=22,5π cm3 

Gọi ht (cm) là chiều cao tính từ mặt thoáng của nước sau khi bỏ vào ly 15 viên sỏi đến miệng ly.

Ta có:  Vt=S.htht=VtS=22,5π=2,5  cm

Vậy khoảng cách tính từ mặt thoáng của nước sau khi bỏ vào ly 15 viên sỏi đến miệng ly là: 2,5cm.


Bắt đầu thi ngay