Thứ sáu, 22/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 9 Toán Bài tập Toán 9 Chủ đề 8: Bất đẳng thức có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 8: Bất đẳng thức có đáp án

Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án

  • 746 lượt thi

  • 5 câu hỏi

  • 50 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho số thực a2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của  A=a+1a 

Sai lầm thường gặp là:A=a+1a 2a.1a=2 . Vậy GTNN của A là 2.

Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 a=1a a=1 vô lý vì theo giả thuyết thì a2 .

Xem đáp án

Lời giải đúng: A=a+1a =a4+1a+3a42a4.1a+3a41+3.24=52

                Dấu “=” xảy ra    a4=1a  hay a=2     

                 Vậy GTNN của A52 .

Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức.

Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi a=2  . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi a=2. Ta không thể áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số a và 1a  vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải tách a hoặc 1a  để khi áp dụng bất đẳng thức AM - GM thì thỏa quy tắc dấu “=”. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho cặp số aα,1a  sao cho tại “Điểm rơi a=2 thì aα=1a , ta có sơ đồ sau:   

a=2aα=2α1a=122α=12α=4

Khi đó:  A=a+1a =a4+3a4+1a và ta có lời giải như trên.


Câu 2:

Cho 2 số thực dương a, b thỏa a+b1 . Tìm GTNN của A=ab+1ab 

Xem đáp án

Ta có:            

   aba+b2214 ab14

A=16ab+1ab15ab216ab1ab15ab815.14=174

Dấu “=” xảy ra ab=14a=b=12

Vậy GTNN của A  174


Câu 3:

Cho số thực a6 . Tìm GTNN của A=a2+18a 

Xem đáp án

Ta có:     A=a224+9a+9a+23a2243a224.9a.9a3+23a22492+23.3624=39

Dấu “=” xảy ra a224=9aa=6

Vậy GTNN của A là 39


Câu 4:

Cho 3 số thực dương a, b, c  thỏa  a+2b+3c20 .

Tìm GTNN của  A=a+b+c+3a+92b+4c 

Xem đáp án

A=3a4+3a+b2+92b+c4+4c +a4+b2+3c423a4.3a+2b2.92b+2c4.4c+a+2b+3c43+3+2+5=13

Dấu “=” xảy ra a=2,b=3,c=4

Vậy GTNN của A  13


Câu 5:

Cho3 số thực dương a, b, c  thỏa  ab12bc8 .

Chứng minh rằng: a+b+c+21ab+1bc+1ca +8abc12112
Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

 a18+b24+2ab3a18.b24.2ab3=12a9+c6+2ca3a9.c6.2ca3=1

b16+c8+2bc3b16.c8.2bc3=34a9+c6+b12+8abc4a9.c6.b12.8abc4=43

13a18+13b24213a18.13b2421318.1324.12=13313b48+13c24213b48.13c2421348.1324.8=134

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

 a+b+c+21ab+1bc+1ca +8abc12112   (đpcm)


Bắt đầu thi ngay