25 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Câu 1:

Ta gọi hai đường tròn không trùng nhau là hai đường tròn phân biệt. Vì sao hai đường tròn phân biệt không thể có quá hai điểm chung?

Xem đáp án

Nếu hai đường tròn có nhiều hơn hai điểm chung thì khi đó hai đường tròn sẽ đi qua ít nhất ba điểm chung.Mà qua 3 điểm phân biệt thì chỉ xác định được duy nhất 1 đường tròn nên 2 đường tròn này không thể phân biệt.

Câu 2:

a) Quan sát hình 85, chứng minh rằng OO’ là đường trung trực của AB.

b) Quan sát hình 86, hãy dự đoán về vị trí của điểm A đối với đường nối tâm OO’.

Xem đáp án

a) Ta có: OA = OB (= bán kính đường tròn (O))

O’A = O’B (= bán kính đường tròn (O’))

⇒ OO’ là đường trung trực của AB

b) Hình 86a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì A nằm giữa O và O’

Hình 86b) Hai đường tròn tiếp xúc trong thì A nằm ngoài đoạn OO’

Câu 3:

Cho hình 88.

a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).

b) Chứng minh rằng BC // OO’ và ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Xem đáp án

a) Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau

b) Xét tam giác ABC có:

OA = OB = OC = bán kính đường tròn (O)

Mà BO là trung tuyến của tam giác ABC

⇒ $∆ A B C$ vuông tại B ⇒ $A B ⊥ B C$ (1)

Lại có OO’ là đường trung trực của AB

⇒ $A B ⊥ O O'$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ OO’ // BC

Chứng minh tương tự ta có $∆ A B D$ vuông tại B ⇒ $A B ⊥ B D$ (3)

Từ (1) và (3) ⇒ B, C, D thẳng hàng.

Câu 4:

Trên hình 89, hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A. Chứng minh rằng OC // O'D.

Xem đáp án

Ta có: OA = OC (bán kính) nên $∆ O A C$ cân tại O.

Suy ra $\hat{C} = \hat{O A C}$ (1)

Lại có O'A = O'D (bán kính) nên $∆ O' A D$ cân tại O'

Suy ra $\hat{D}$ = $\hat{O' A D}$ (2)

Mà $\hat{O A C} = \hat{O' A D}$ đối đỉnh (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\hat{C} = \hat{D}$

Vậy OC // O'D (có hai góc so le trong bằng nhau).

Câu 5:

Cho hai đường tròn (O; 20cm) và (O'; 15cm) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO', biết rằng AB = 24 cm. (Xét hai trường hợp: O và O' nằm khác phía đối với AB; O và O' nằm cùng phía đối với AB).

Xem đáp án

- Trường hợp 1: O và O' nằm khác phía đối với AB

Gọi I là giao điểm của OO' và AB. Theo tính chất đường nối tâm ta có:

$A B ⊥ O O'$ và AI = IB = 12

Áp dụng định lí Pitago, ta được:

$OI = \sqrt{{OA}^{2} - {AI}^{2}} = \sqrt{20^{2} - 12^{2}} = \sqrt{256} = 16 (cm)$

$I O' = \sqrt{O' A^{2} - A I^{2}} = \sqrt{15^{2} - 12^{2}} = \sqrt{81} = 9 (c m)$

Vậy OO' = OI + IO' = 16 + 9 = 25 (cm)

- Trường hợp 2: O và O' nằm cùng phía đối với AB

Tương tự như trường hợp 1, ta có:

$OI = \sqrt{{OA}^{2} - {AI}^{2}} = 16 (cm) O' I = \sqrt{O' A^{2} - {AI}^{2}} = 9 (cm)$

Vậy OO' = OI – O'I = 16 – 9 = 7 (cm).

Câu 6:

Cho hình bên, trong đó hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A. Chứng minh rằng các tiếp tuyến Bx và Cy song song với nhau.

Xem đáp án

Ta có: O, A, O’ thẳng hàng

C, A, B thẳng hàng

Suy ra OB // O’C (vì có cặp góc so le trong bằng nhau)

Lại có: $Bx ⊥ OB$ (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: $Bx ⊥ O' C$

Mà: $Cy = O' C$ (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: Bx // Cy

Câu 7:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B như hình bên.

Biết OA = 15cm, O’A = 13cm, AB = 24cm. Tính độ dài OO’.

Xem đáp án

Gọi H là giao điểm của AB và OO’.

Vì OO’ là đường trung trực của AB nên:

OO’ ⊥ AB tại H

Suy ra: HA = HB = $\frac{1}{2}$ .AB = $\frac{1}{2}$ .24 = 12 (cm)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông AOH, ta có:

${AO}^{2} = {OH}^{2} + {AH}^{2}$

Suy ra: ${OH}^{2} = {OA}^{2} - {AH}^{2} = 15^{2} - 12^{2} = 81$

OH = 9 (cm)

Áp dụng định lí pitago vào tam giác vuông AO’H, ta có:

$AO'^{2} = O' H^{2} + {AH}^{2}$

Suy ra: $O' H^{2} = O' A^{2} - {AH}^{2} = 13^{2} - 12^{2} = 25$

O’H = 5 (cm)

Vậy OO’ = OH + O’H = 9 + 5 = 14 (cm)

Câu 8:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A như hình bên. Chứng minh rằng các bán kính OB và O’C song song với nhau.

Xem đáp án

Ta có: OA = OB (= R)

Suy ra tam giác AOB cân tại O

Hay $\hat{O A B} = \hat{O B A}$ (1)

Ta có: O'A = O'C (=R')

Suy ra tam giác AO'C cân tại O'

Hay $\hat{O' A C}$ = $\hat{O' C A}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\hat{O B A} = \hat{O' C A}$

Suy ra: OB // O’C (vì có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

Câu 9:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO’D. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng và $AB ⊥ CD$ .

Xem đáp án

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AC là đường kính nên $\hat{ABC} = 90^{0}$

Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O’) có AD là đường kính nên $\hat{ABD} = 90^{0}$

Ta có: $\hat{CBD} = \hat{ABC} + \hat{ABD} = 90^{0} + 90^{0} = 180^{0}$

Vậy ba điểm C, B, D thẳng hàng và $AB ⊥ CD$ .

Câu 10:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi I là trung điểm của OO’. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với IA, cắt các đường tròn (O) và (O’) tại C và D (khác A). Chứng minh rằng AC = AD.

Xem đáp án

Kẻ $OH ⊥ CD, O' K ⊥ CD$

Ta có: $IA ⊥ CD$

Suy ra: OH // IA // O’K

Theo giả thiết: IO = IO’

Suy ra : AH = AK (tính chất đường thẳng song song cách đều) (1)

Ta có: $OH ⊥ AC$

Suy ra : HA = HC = $\frac{1}{2}$ .AC (đường kính dây cung) ⇒ AC = 2AH (2)

Lại có: $O' K ⊥ AD$

Suy ra : KA = KD = $\frac{1}{2}$ .AD (đường kính dây cung) ⇒ AD = 2AK (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AC = AD

Câu 11:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, trong đó O’ nằm trên đường tròn (O). Kẻ đường kính O’OC của đường tròn (O).

a. Chứng minh rằng CA, CB là các tiếp tuyến của đường tròn (O’)

b. Đường vuông góc với AO’ tại O’ cắt CB ở I. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng O’B ở K. Chứng minh rằng ba điểm O, I, K thẳng hàng.

Xem đáp án

a. Tam giác AO’C nội tiếp trong đường tròn (O) có O’C là đường kính nên $\hat{O' AC} = 90^{0}$

Suy ra: $CA ⊥ O' A$ tại điểm A

Vậy CA là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Tam giác BO’C nội tiếp trong đường tròn (O) có O’C là đường kính nên $\hat{O' BC} = 90^{0}$

Suy ra: $CB ⊥ O' B$ tại điểm B

Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

b. Trong đường tròn (O’) ta có AC và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C

Suy ra: $\hat{ACO'} = \hat{BCO'}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà $O' I ⊥ O' A$ (gt)

$CA ⊥ O' A$ (chứng minh trên)

Suy ra: O’I // CA => $\hat{ACO'} = \hat{CO' I}$ (hai góc so le trong)

Suy ra: $\hat{BCO'} = \hat{CO' I}$

Hay tam giác CIO’ cân tại I => IC = IO’

Khi đó I nằm trên đường trung trực của O’C

Lại có: $\hat{AO' C} = \hat{BO' C}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$KC ⊥ CA$ (gt)

$O' A ⊥ AC$ (chứng minh trên)

Suy ra: KC // O’A => $\hat{AO' C} = \hat{O' CK}$ (hai góc so le trong)

Suy ra: $\hat{O' CK} = \hat{KO' C}$

Hay tam giác CKO’ cân tại K => KC = KO’

Khi đó K nằm trên đường trung trực của O’C

Mặt khác: OC = OO’ (= R)

Suy ra O, I, K nằm trên đường trung trực của O’C

Vậy O, I, K thẳng hàng.

Câu 12:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Dây AC của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O’) tại A. Dây AD của đường trong (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I của OO’, E là điểm đối xứng với A qua B. Chứng minh rằng:

a. $AB ⊥ KB$

b. Bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn.

Xem đáp án

a. Gọi H là giao điểm của AB và OO’

Vì OO’ là đường trung trực của AB nên $OO' ⊥ AB$ tại H

Ta có: HA = HB

I là trung điểm của OO’ nên $IH ⊥ AB$ (1)

Trong tam giác ABK, ta có:

HA = HB (chứng minh trên)

IA = IK (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra IH là đường trung bình của tam giác ABK

Suy ra IH // BK (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $AB ⊥ KB$

b. Vì $AB ⊥ KB$ nên $AE ⊥ KB$

Lại có: AB = BE (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra: KA = KE (tính chất đường trung trực) (3)

Ta có: IO = IO’ (gt)

IA = IK (chứng minh trên)

Tứ giác AOKO’ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành

Suy ra: OK // O’A và OA // O’K

$CA ⊥ O' A$ (vì CA là tiếp tuyến của đường tròn (O’))

OK // O’A (chứng minh trên)

Suy ra: $OK ⊥ AC$

Khi đó OK là đường trung trực của AC

Suy ra: KA = KC (tính chất đường trung trực) (4)

DA ⊥ OA (vì DA là tiếp tuyến của đường tròn (O))

O’K // OA (chứng minh trên)

Suy ra: $O' K ⊥ DA$

Khi đó O’K là đường trung trực của AD

Suy ra: KA = KD (tính chất đường trung trực) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: KA = KC = KE = KD

Vậy bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn.

Câu 13:

Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn đường kính OA. Xác định tính tương đối của hai đường tròn.

Xem đáp án

Gọi đường tròn (O') là đường tròn đường kính OA.

Ta có:

⇒ (O) và (O') tiếp xúc trong.

Câu 14:

Cho hai đường tròn (O; 20) và (O'; 15) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn thẳng nối OO' biết rằng AB = 24.

Xem đáp án

Ta có 2 trường hợp xảy ra:

Gọi C là giao điểm của đường thẳng AB và OO'

Câu 15:

Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ đường kính AOC và đường kính AO'D.

a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng

b) Qua A vẽ cát tuyến cắt (O) và (O') lần lượt tại M và N. CMR: MN ≤ CD.

Xem đáp án

a) Tam giác ABC có AC là đường kính nên tam giác ABC vuông tại B hay AB ⊥ BC

Tam giác ABD có AD là đường kính nên tam giác ABD vuông tại B hay AB ⊥ BD

⇒ C, B, D cùng thuộc đường thẳng qua B và vuông góc với AB

b) Xét tam giác ACD có OO' là đường trung bình nên OO' = $\frac{1}{2}$ CD

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của O và O' nên MN

Khi đó E, F lần lượt là trung điểm của AM và AN

⇒ EF = $\frac{1}{2}$ MN

Ta đưa việc so sánh CD với MN qua so sánh OO' với EF

Xét 2 đường thẳng OE và O'F song song với nhau.

EF vuông góc với cả hai đoạn thẳng nên EF là đoạn thẳng nhỏ nhất trong các đoạn nối từ 1 điểm trên OE tới 1 điểm trên O'F. Khi đó: EF ≤ OO' ⇒ MN ≤ CD.

Câu 16:

Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì có một điểm chung duy nhất

Chọn đáp án A

Câu 17:

Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) với R > r cắt nhau tại hai điểm phân biệt và OO' = d . Chọn khẳng định đúng?

A. d = R - r

B. d > R + r

C. R - r < d < R + r

D. d < R - r

Xem đáp án

Hai đường tròn (O; R) và (O'; r)(R > r) cắt nhau

Khi đó (O) và (O') có hai điểm chung và đường tròn nối tâm là đường trung trực của đoạn AB

Hệ thức liên hệ R - r < OO' < R + r

Chọn đáp án C.

Câu 18:

Cho hai đường tròn (O; 8cm) và (O; 6cm) cắt nhau tại A, B sao cho OA là tiếp tuyến của (O). Độ dài dây AB là

A. AB = 8,6 cm

B. AB = 6,9 cm

C. AB = 4,8 cm

D. AB = 9,6 cm

Xem đáp án

Vì OA là tiếp tuyến của (O') nên tam giác vuông tại A

Vì (O) và (O') cắt nhau tại A, B nên đường tròn nối tâm OO' là trung trực của đoạn AB

Gọi giao điểm của AB và OO' là I thì AB ⊥ OO' tại I là trung điểm của AB

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAO' ta có:

Chọn đáp án D.

Câu 19:

Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O') đường kính OA. Vị trí tương đối của hai đường tròn là:

A. Nằm ngoài nhau

B. Cắt nhau

C. Tiếp xúc ngoài

D. Tiếp xúc trong

Xem đáp án

Vì hai đường tròn có một điểm chung là A và nên hai đường tròn tiếp xúc trong

Chọn đáp án D.

Câu 20:

Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O') đường kính OA. Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại C. Khi đó

A. $AC > CD$

B. $AC = CD$

C. $AC < CD$

D. $CD = OD$

Xem đáp án

Chọn đáp án B.

Câu 21:

Cho hai đường tròn (O₁; 4) và (O₂; R) tiếp xúc ngoài nhau biết O₁O₂ = 10cm. Tìm R

A. 4cm

B. 6cm

C. 14cm

D. 10cm

Xem đáp án

Để hai đường tròn đã cho tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi:

R₁ + R₂ = O₁O₂

Hay 4 + R = 10 nên R = 6cm

Chọn đáp án B.

Câu 22:

Cho hai đường tròn (O₁; 3cm ) và (O₂; R) cắt nhau, biết O₁O₂ = 11 cm và R > 3. Bán kính R có thể bằng bao nhiêu?

A. R = 8 cm

B. R = 9cm

C. R = 14cm

D. R = 15cm

Xem đáp án

Để hai đường tròn đã cho cắt nhau khi và chỉ khi:

R - 3 < O₁O₂ < R + 3 hay R - 3 < 11 < R + 3

Suy ra: R < 14 và 8 < R.

Trong các phương án đã cho chỉ có phương án B thỏa mãn

Chọn đáp án B.

Câu 23:

Cho hai đường tròn (O; 15cm) và (I; 20cm) cắt nhau tại hai điểm A và B. Biết rằng O và I nằm hai phía đối với đường thẳng AB và AB = 24cm. Tính đoạn nối tâm OI?

A. 20cm

B. 21cm

C. 23cm

D. 25 cm

Xem đáp án

Gọi giao điểm của AB và OI là điểm H .

Theo tính chất đường nối tâm ta có H là trung điểm của AB nên HA = HB = 24 : 2 = 12 cm

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông OAH ta có:

OH² = OA² – AH² = 15² – 12² = 81 nên OH = 9 cm

Áp dụng đinh lí Pytago vào tam giác vuông AHI ta có:

HI² = AI² – AH² = 20² – 12² = 256 nên HI = 16 cm

Do đó, OI = OH + HI = 9 + 16 = 25 cm

Chọn đáp án D.

Câu 24:

Cho hai đường tròn (O; 10 cm ) và (I; 6cm). Xác định vị trí hai đường tròn biết OI = 3 cm?

A. Ở ngoài nhau

B. Đường tròn (O) đựng đường tròn (I)

C. Cắt nhau

D. Tiếp xúc trong

Xem đáp án

Ta có: OI < R – r ( 3 < 10 – 6)

Do đó, đường tròn (O) đựng đường tròn (I) .

Chọn đáp án B.

Câu 25:

Cho hai đường tròn (A; 6cm) và (B; 3cm). Tìm điều kiện để hai đường tròn đã cho ở ngoài nhau?

A. AB > 9cm

B. AB < 9cm

C. AB = 3cm

D. AB < 3cm

Xem đáp án

Để hai đường tròn đã cho ở ngoài nhau khi và chỉ khi:

AB > R + r hay AB > 6 + 3 = 9cm

Chọn đáp án A.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Giải SGK Toán 9 Chương 2: Đường tròn

Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Các bài thi hot trong chương