- Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác.

- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh tam giác.

- Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác.

- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các tia phân giác của các góc trong của tam giác.

- Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

- Mọi dường kính của đường tròn đều là trục đối xứng của đường tròn.

Giả sử ta có đường tròn đường kính AB = 2R và một dây CD.

Trong ΔCOD, theo bất đẳng thức tam giác ta có:

CD ≤ OC + OD

=> CD ≤ 2R

=> CD ≤ AB (đpcm)

Định lí: Nếu một đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Ngược lại, một đường kính đi qua trung điểm của một dây không phải là đường kính thì vuông góc với dây ấy.

Trong một đường tròn:

- Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

- Dây lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại, dây gần tâm hơn thì lớn hơn.

- Tiếp tuyến với đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn.

- Tiếp tuyến với đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

- Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm ấy thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

   a) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

   b) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

   c) Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

- Tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì nằm trên đường nối tâm.

- Các giao điểm của hai đường tròn cắt nhau thì đối xứng với nhau qua đường nối tâm.

a)

IO = OB – IB => (I) tiếp xúc trong với (O).

OK = OC – KC => (K) tiếp xúc trong với (O)

IK = OH + KH => (I) tiếp xúc ngoài với (K)

b, Tứ giác AEHF có $\hat{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{E}}=\hat{\mathrm{F}}={90}^0$ nên là hình chữ nhật

c) ΔAHB vuông nên AE.AB = AH²

ΔAHC vuông nên AF.AC = AH²

Suy ra AE.AB = AF.AC

d) Gọi G là giao điểm của AH và EF

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật => AH = EF

Ta có GE = GH => $∆\mathrm{GEH}$ cân => $\widehat{{\mathrm{E}}_1}=\widehat{{\mathrm{H}}_1}$

Lại có $∆\mathrm{IHE}$ cân => $\widehat{{\mathrm{E}}_2}=\widehat{{\mathrm{H}}_2}$

Suy ra: $\widehat{{\mathrm{E}}_1}+\widehat{{\mathrm{E}}_2}=\widehat{{\mathrm{H}}_1}+\widehat{{\mathrm{H}}_2}={90}^0$

Do đó EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)

Tương tự, EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)

e)

- Cách 1:

Ta có: EF = AH ≤ OA (OA có độ dài không đổi)

Do đó EF lớn nhất khi AH = OA

<=> H trùng O hay dây AD đi qua O.

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

- Cách 2: EF = AH = $\frac{\mathrm{AD}}{2}$.

Do đó EF lớn nhất khi AD lớn nhất. Khi đó, dây AD là đường kính.

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

a) MA và MB là các tiếp tuyến của (O) (gt).

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

MA = MB

MO là tia phân giác của góc AMB

ΔAMB cân tại M (MA = MB) mà có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao

=> $\mathrm{MO}\perp \mathrm{AB}$ hay $\angle \mathrm{MEA}={90}^0$

Tương tự ta có MO' là tia phân giác của góc AMC và $\angle \mathrm{MFA}={90}^0$

MO, MO' là tia phân giác của hai góc kề bù $\angle \mathrm{AMB}$ và $\angle \mathrm{AMC}$ nên $\angle \mathrm{EMF}={90}^0$

=> Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).

b) ME.MO = MA² (hệ thức lượng trong ΔMAO vuông)

MF.MO' = MA² (hệ thức lượng trong ΔMAO' vuông)

Suy ra ME.MO = MF.MO'

c) Đường tròn có đường kính BC có tâm M, bán kính MA.OO' vuông góc với MA tại A nên là tiếp tuyến của đường tròn (M).

d,

Gọi I là trung điểm của OO', I là tâm của đường tròn có đường kính OO', IM là bán kính (vì MI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của MOO'. IM là đường trung bình của hình thang OBCO' nên IM // OB // O'C. Do đó $\mathrm{IM}\perp \mathrm{BC}$. BC vuông góc với IM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (I).

a) Kẻ $\mathrm{OM}\perp \mathrm{AD}$.

Theo tính chất đường kính vuông góc với một dây, ta có: MA = MC

Tương tự, kẻ $\mathrm{O}\text{'}\mathrm{N}\perp \mathrm{AD}$ => NA = ND.

Ta có:

Vậy tứ giác OMNO' là hình thang vuông.

Ta còn có: IO = IO' (gt) và IA // OM

Do đó IA là đường trung bình của hình thang OMNO'.

=> AM = AN hay 2AM = 2AN

Hay AC = CD (đpcm)

b) Ta có OO' là đường nối tâm của (O) và (O') nên OO' là đường trung trực của AB.

Suy ra $\mathrm{IH}\perp \mathrm{AB}$ và IA = IB

Ta lại có IA = IK (do K là điểm đối xứng của A qua I).

Nên IH là đường trung bình của tam giác AKB.

Suy ra IH // KB

Mà $\mathrm{IH}\perp \mathrm{AB}$

Suy ra $\mathrm{KB}\perp \mathrm{AB}$ (đpcm).

a. Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn có AB là đường kính nên $\widehat{\mathrm{BDA}}={90}^0$ hay $\widehat{\mathrm{MDA}}={90}^0$

Tam giác ACM nội tiếp trong đường tròn có AC là đường kính nên $\widehat{\mathrm{AMC}}={90}^0$

Suy ra: CM ⊥ AD ⇒ $\widehat{\mathrm{CMD}}$ = 90^o

Tam giác BCN nội tiếp trong đường tròn có AC là đường kính nên $\widehat{\mathrm{BNC}}$ = 90^o

Suy ra: CN ⊥ BD ⇒ $\widehat{\mathrm{CND}}$ = 90^o

Tứ giác CMDN có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật

b. Tam giác ACD vuông tại C có CM ⊥ AD

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

CD² = DM.DA    (1)

Tam giác BCD vuông tại C có CN ⊥ BD

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

CD² = DN.DB    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DM.DA = DN.DB

c. Gọi P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC, I là giao điểm của MN với DC

Vì CMDN là hình chữ nhật nên IC = IM = ID = IN

Tam giác CNI cân tại I nên $\widehat{\mathrm{ICN}}=\widehat{\mathrm{INC}}$  (3)

Tam giác CNQ cân tại Q nên $\widehat{\mathrm{QCN}}=\widehat{\mathrm{QNC}}$     (4)

Vì AB ⊥ CD nên $\widehat{\mathrm{ICN}}+\widehat{\mathrm{QNC}}$ = 90^o    (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: $\widehat{\mathrm{INC}}+\widehat{\mathrm{QNC}}$ = 90^o hay MN ⊥ QN

Vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

Tam giác CMI cân tại I nên $\widehat{\mathrm{ICM}}=\widehat{\mathrm{IMC}}$     (6)

Tam giác CMP cân tại P nên $\widehat{\mathrm{PCM}}=\widehat{\mathrm{PMC}}$     (7)

Vì AB ⊥ CD nên $\widehat{\mathrm{PCM}}+\widehat{\mathrm{IMC}}$ = 90^o    (8)

Từ (6), (7) và (8) suy ra: $\widehat{\mathrm{PMC}}+\widehat{\mathrm{IMC}}$ = 90^o hay MN ⊥ PM

Vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC

d. Gọi O là trung điểm của AB

Tứ giác CMDN là hình chữ nhật nên CD = MN

Trong tam giác OCD ta có: CD ≤ OD nên MN ≤ OD

Vì OD không đổi nên MN = OD là giá trị lớn nhất khi và chỉ khi C trùng với O

Vậy C là trung điểm của AB thì MN có độ dài lớn nhất.

a. Trong đường tròn (O) ta có OI là tia phân giác của góc AID (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Trong đường tròn (O’) ta có O’I là tia phân giác của góc AIE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

=> IO ⊥ IO’ (tính chất hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{\mathrm{OIO}\text{'}}$ = 90^o hay $\widehat{\mathrm{MIN}}$ = 90^o

Lại có: IA = ID (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác ADI cân tại I

Tam giác cân AID có IO là phân giác của góc AID nên IO cũng là đường cao của tam giác AID

Suy ra: IO ⊥ AD hay $\widehat{\mathrm{AMI}}$ = 90^o

Mặt khác: IA = IE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác AEI cân tại I

Tam giác cân AIE có IO’ là phân giác của góc AIE nên IO’ cũng là đường cao của tam giác AIE

Suy ra: IO’ ⊥ AE hay $\widehat{\mathrm{ANI}}$ = 90^o

Tứ giác AMIN có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

b. Tam giác AIO vuông tại A có AM ⊥ IO

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: IA² = IM.IO     (1)

Tam giác AIO’ vuông tại A có AN ⊥ IO’

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: IA² = IN.IO’     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IM.IO = IN.IO’

c. Ta có: IA = ID = IE (chứng minh trên)

Suy ra A nằm trên đường tròn tâm I đường kính DE

Vì OO’ ⊥ IA tại A nên OO’ là tiếp tuyến của đường tròn (I; DE/2)

d. Tam giác O’IO vuông tại I có IA ⊥ OO’

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

IA² = OA.O’A = 5.3,2 = 16

Suy ra: IA = 4 (cm). Mà DE = 2IA nên DE = 2.4 = 8 (cm)

Kẻ OI ⊥ AE, O’K ⊥ AF

Trong đường tròn (O), ta có:

IA = IE = $\frac{1}{2}$AE (đường kính vuông góc với dây cung)

Trong đường tròn (O’), ta có:

KA = KF = $\frac{1}{2}$AF (đường kính vuông góc với dây cung)

Ta có: EF = AE = AF

Suy ra: EF = 2IA = 2AK = 2(IA + AK) = 2IK   (1)

Kẻ O’H ⊥ OI

Khi đó tứ giác IHO’K là hình chữ nhật (có ba góc vuông)

Suy ra: O’H = IK

Trong tam giác OHO’ ta có: O’H ≤ OO’ = 3 (cm)

Suy ra: IK ≤ OO’   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF ≤ 2OO’ = 6 (cm)

Ta có EF = 6cm khi H và O trùng nhau hay EF // OO’

Vậy EF có độ dài lớn nhất bằng 6cm khi và chỉ khi EF // OO’.

a. Gọi I là giao điểm của AD và BC

Vì BC là đường trung trực của AD nên theo tính chất đường trung trực ta có:

BA = BD

Tam giác BAD cân tại B có BI ⊥ AD nên BI là tia phân giác của góc ABD

Tam giác EBF có BH là tia phân giác của góc EBF và BH ⊥ EF nên tam giác EBF cân tại B.

b. Tam giác EBF cân tại B nên HE = HF

Tam giác AEF vuông tại A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên: HA = HE = HF = (1/2).EF (tính chất tam giác vuông)

Vậy tam giác AHF cân tại H.

Vậy HA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

a. Tam giác ABM nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M

Suy ra: AN ⊥ BM

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại C

Suy ra: AC ⊥ BN

Tam giác ABN có hai đường cao AC và BM cắt nhau tại E nên E là trực tâm của tam giác ABN

Suy ra: NE ⊥ AB

b. Ta có: MA = MN (tính chất đối xứng tâm)

ME = MF (tính chất đối xứng tâm)

Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành

Suy ra: AF // NE

Mà NE ⊥ AB (chứng minh trên)

Suy ra: AF ⊥ AB tại A

Vậy FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c. Trong tam giác ABN ta có: AN ⊥ BM và AM = MN

Suy ra tam giác ABN cân tại B

Suy ra BA = BN hay N thuộc đường tròn (B; BA)

Tứ giác AFNE là hình bình hành nên AE // FN hay FN // AC

Mặt khác: AC ⊥ BN (chứng minh trên)

Suy ra: FN ⊥ BN tại N

Vậy FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

a. Vì O, O’ và B thẳng hàng nên: O’B < OB => O’ nằm giữa O và B

Ta có: OO’ = OB - O’B

Vậy đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại B

b. Ta có: HA = HC (gt)

AB ⊥ DE (gt)

Suy ra: HD = HE (đường kính vuông góc với dây cung)

Tứ giác ADCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành

Lại có: AC ⊥ DE

Suy ra tứ giác ADCE là hình thoi

c. Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có Ab là đường kính nên vuông tại D

Suy ra: AD ⊥ BD

Tứ giác ADCE là hình thoi nên EC // AD

Suy ra: EC ⊥ BD     (1)

Tam giác BCK nội tiếp trong đường tròn (O’) có BC là đường kính nên vuông tại K

Suy ra: CK ⊥ BD     (2)

Từ (1) và (2) suy ra EC trùng với CK

Vậy E, C, K thẳng hàng.

d. Tam giác DEK vuông tại K có KH là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên: HK = HE = (1/2).DE (tính chất tam giác vuông)

Suy ra tam giác EHK cân tại H

a. Vì đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A nên O, A và O’ thẳng hàng

Ta có: KB = KC (gt)

Trong đường tròn (O) ta có:

AB ⊥ DE tại K

Suy ra: KD = KE (đường kính vuông góc với dây cung)

Tứ giác BDCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Lại có: BC ⊥ DE

Suy ra tứ giác BDCE là hình thoi.

b. Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại D

Suy ra: AD ⊥ BD

Tứ giác BDCE là hình thoi nên EC // BD

Suy ra: EC ⊥ AD     (1)

Tam giác AIC nội tiếp trong đường tròn (O’) có AC là đường kính nên vuông tại I

Suy ra: AI ⊥ CE     (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD trùng với AI

Vậy D, A, I thẳng hàng.

c. Tam giác DIE vuông tại I có IK là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên: KI = KD =$\frac{1}{2}$.ED (tính chất tam giác vuông)

Suy ra tam giác IKD cân tại K

a. Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

- MA là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{HMC}}$

Vậy C, M, D thẳng hàng.

b. Trong đường tròn (M; MH), theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = AH và BD = BH

Khi M thay đổi trên nửa đường tròn tâm O thì AC luôn bằng AH và BD luôn bằng BH

Suy ra: AC + BD = AH + BH = AB không đổi

c. Ta có: AC ⊥ CD và BD ⊥ CD (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: AC // BD hay tứ giác ABDC là hình thang

Mà OA = OB (bán kính (O))

Và AC = MD (bán kính (M))

Suy ra OM là đường trung bình của hình thang ABDC

Khi đó OM // AC. Suy ra: OM ⊥ CD hay $\widehat{\mathrm{OMI}}$ = 90^o

Tam giác OMI vuông tại M có MH ⊥ OI

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: OM² = OH.OI

Suy ra: OH.OI = R² không đổi.

Xét tam giác ABC vuông tại A

Gọi M là trung điểm của BC nên MB = MC = $\frac{1}{2}$BC

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ta có:

AM = $\frac{1}{2}$ BC

Suy ra: MA = MB =MC = $\frac{1}{2}$ BC

⇒ Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm là trung điểm của cạnh huyền

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Theo tính chất hình chữ nhật ta có:

EA = EB = EC = ED.

Do đó A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm E và bán kính EA

Ta có: