11 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 6: So sánh một tổng hoặc một tích nhiều phân số với một phân số có đáp án

Câu 1:

So sánh:

\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{199} + \frac{1}{200}

với 1 ;

Xem đáp án

a) Từ $\frac{1}{101}$ tới $\frac{1}{200}$ có tất cả 100 chữ số.

Mà $1 = \frac{1}{100} + \frac{1}{100} + \dots + \frac{1}{100} ($ có 100 chữ số $\frac{1}{100})$

Vì $\frac{1}{101} < \frac{1}{100}; \frac{1}{102} < \frac{1}{100}; \dots; \frac{1}{200} < \frac{1}{100}$ Nên:

$\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{199} + \frac{1}{200} < \frac{1}{100} + \frac{1}{100} + \dots + \frac{1}{100}$

$\to \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{199} + \frac{1}{200} < 1$

Kết luận: Vậy nếu gặp dạng so sánh như trên (dấu hiệu so sánh 1 số với tổng dãy số), các em thực hiện theo các bước:

Bước 1: Tìm số chữ số của tổng (ví dụ bài toán trên là 100 chữ số)

Bước 2: Tách số cố định thành tổng các chữ số (ví dụ trên là tách 1 thành tổng 100 chữ số)

Bước 3: So sánh từng số của tổng $(\frac{1}{101}; \frac{1}{102}; ..)$ với các chữ số vừa tách $(\frac{1}{100})$

Bước 4: Kết luận

Câu 2:

b) $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{149} + \frac{1}{150} v ớ i \frac{1}{3}$

Xem đáp án

b)

\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{149} + \frac{1}{150} v ớ i \frac{1}{3}

Bước 1: Từ $\frac{1}{101}$ tới $\frac{1}{150}$ có tất cả 50 chữ số.

Bước 2: Tách $\frac{1}{3} = \frac{1}{150} + \frac{1}{150} + \dots + \frac{1}{150}$ (có tất cả 50 chữ số $\frac{1}{150}$ )

Bước 3: Vì $\frac{1}{101} > \frac{1}{150}; \frac{1}{102} > \frac{1}{150} \dots; \frac{1}{149} > 150$

$\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{150} > \frac{1}{150} + \frac{1}{150} + \dots + \frac{1}{150}$

$\to \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{150} > \frac{50}{150} = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{101} > \frac{1}{150}; \frac{1}{102} > \frac{1}{150} \dots; \frac{1}{149} > 150$

$\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{150} > \frac{1}{150} + \frac{1}{150} + \dots + \frac{1}{150}$

$\to \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{150} > \frac{50}{150} = \frac{1}{3}$

Bước 4: Kết luận: $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{150} > \frac{1}{3}$

Câu 3:

c) $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{199} + \frac{1}{200} v ớ i \frac{7}{12}$

Xem đáp án

c) $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{199} + \frac{1}{200} v ớ i \frac{7}{12}$

Phần này khó hơn 2 phần a và b một chút, chúng ta sẽ phải kết hợp:

Chúng ta có $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{150} > \frac{1}{3}$ (1)

Lại có: $\frac{1}{4} = \frac{1}{200} + \frac{1}{200} + \dots + \frac{1}{200} (50$ chữ số $\frac{1}{200})$

Mà: $\frac{1}{151} > \frac{1}{200}; \frac{1}{152} > \frac{1}{200}; \dots; \frac{1}{199} > \frac{1}{200}$ Nên:

$\frac{1}{151} + \frac{1}{152} + \dots + \frac{1}{200} > \frac{1}{4}$

Cộng (1) và (2) chúng ta được:

$\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{200} > \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{3 + 4}{12} = \frac{7}{12}$

Kết luận: $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{200} > \frac{7}{12}$

Câu 4:

Cho tổng $: S = \frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \dots + \frac{1}{60}$ . Chứng minh: $\frac{3}{5} < S < \frac{4}{5}$

Xem đáp án

$S = (\frac{1}{31} + \frac{1}{32} + \dots + \frac{1}{40}) + (\frac{1}{41} + \frac{1}{42} + \dots + \frac{1}{50}) + (\frac{1}{51} + \frac{1}{52} + \dots + \frac{1}{60})$

$\Rightarrow S < (\frac{1}{30} + \frac{1}{30} + \dots + \frac{1}{30}) + (\frac{1}{40} + \frac{1}{40} + \dots + \frac{1}{40}) + (\frac{1}{50} + \frac{1}{50} + \dots + \frac{1}{50})$

hay $S < \frac{10}{30} + \frac{10}{40} + \frac{10}{50}$

suy ra $S < \frac{47}{60} < \frac{48}{60}$

Vậy $S < \frac{4}{5}$ (1).

Mặt khác: $S > (\frac{1}{40} + \frac{1}{40} + \dots + \frac{1}{40}) + (\frac{1}{50} + \frac{1}{50} + \dots + \frac{1}{50}) + (\frac{1}{60} + \frac{1}{60} + \dots + \frac{1}{60})$

$\Rightarrow S > \frac{10}{40} + \frac{10}{50} + \frac{10}{60}$

$S > \frac{37}{60} > \frac{36}{60}$

$S > \frac{3}{5} (2)$

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

Câu 5:

So sánh $A = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{9999}{10000}$ với $B = \frac{1}{100}$

Xem đáp án

Đặt $C = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{9} \dots \cdot \frac{10000}{10001}$

So sánh từng số của A với của C ta thấy: $\frac{1}{2} < \frac{2}{3}; \frac{3}{4} < \frac{4}{5} \dots$ và $\frac{9999}{10000} < \frac{10000}{10001}$

Vậy A < C

$\to A \cdot A < A . C = (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{9999}{10000}) \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \dots \cdot \frac{10000}{10001})$

$\to A^{2} < (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \dots \frac{9999}{10000} \cdot \frac{10000}{10001})$ (Rút gọn tử và mẫu lần lượt).

$\to A^{2} < \frac{1}{10001}$ mà $\frac{1}{10001} < \frac{1}{10000}$ (mẫu càng lớn phân số càng nhỏ)

$\to A^{2} < \frac{1}{10000} = {(\frac{1}{100})}^{2}$

$\to A < \frac{1}{100} = B$

Kết luận: A< B

Câu 6:

Chứng minh rằng: $\frac{1}{41} + \frac{1}{42} + \frac{1}{43} + \dots .. + \frac{1}{78} + \frac{1}{79} + \frac{1}{80} > \frac{7}{12}$

Xem đáp án

Ta thấy: $\frac{1}{41}$ đến $\frac{1}{80}$ có 40 phân số.

Vậy $\frac{1}{41} + \frac{1}{42} + \frac{1}{43} + \dots .. + \frac{1}{78} + \frac{1}{79} + \frac{1}{80}$

$= (\frac{1}{41} + \frac{1}{42} + \frac{1}{43} + \dots .. + \frac{1}{59} + \frac{1}{60}) + (\frac{1}{61} + \frac{1}{62} + \frac{1}{63} + \dots .. + \frac{1}{79} + \frac{1}{80})$ (1)

Vì $\frac{1}{41} > \frac{1}{42} \cdot > \dots . > \frac{1}{60}$ và $\frac{1}{61} > \frac{1}{62} > \dots > \frac{1}{80}$ (2)

Ta có:

$= \frac{20}{60} + \frac{20}{80} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}$ (3)

Từ (1), (2), (3) Suy ra:

$\frac{1}{41} + \frac{1}{42} + \frac{1}{43} + \dots \dots + \frac{1}{78} + \frac{1}{79} + \frac{1}{80} > \frac{7}{12}$

Câu 7:

So sánh $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + ... + \frac{1}{n^{2}}$ và 1

Xem đáp án

$\frac{1}{2^{2}} < 1 - \frac{1}{2}$

$\frac{1}{4^{2}} < \frac{1}{4} - \frac{1}{3}$

…

$\frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{n (n - 1)} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$

$\Rightarrow \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{n^{2}} < 1 - \frac{1}{n} < 1$

Vậy $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{n^{2}} < 1$

Câu 8:

So sánh $A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + ... + \frac{1}{3^{99}}$ với $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Ta có: $3 A = 3 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + ... + \frac{1}{3^{99}}) = (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + ... + \frac{1}{3^{98}})$

Suy ra $3 A - A = 1 - \frac{1}{3^{99}}$

$2 A = 1 - \frac{1}{3^{99}} \Rightarrow A = \frac{1}{2} - \frac{1}{{2.3}^{99}} < \frac{1}{2}$

Vậy $A = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{3}} + ... + \frac{1}{3^{99}} < \frac{1}{2}$

Câu 9:

Cho $M = \frac{1}{2} . \frac{3}{4} . \frac{5}{6} ... \frac{99}{100}$ và $N = \frac{2}{3} . \frac{4}{5} . \frac{6}{7} ... \frac{100}{101}$

a) Chứng minh: M < N

Xem đáp án

Nhận xét M và N đều có 45 thừa số:

a) Và $\frac{1}{2} < \frac{2}{3}; \frac{3}{4} < \frac{4}{5}; \frac{5}{6} < \frac{6}{7}; ... \frac{99}{100} < \frac{100}{101}$ nên M < N

Câu 10:

b) Tìm tích M.N

Xem đáp án

b) Tích $M . N = (\frac{1}{2} . \frac{3}{4} . \frac{5}{6} ... \frac{99}{100}) . (\frac{2}{3} . \frac{4}{5} . \frac{6}{7} ... \frac{100}{101}) = \frac{1}{101}$

Câu 11:

c) Chứng minh: $M < \frac{1}{10}$

Xem đáp án

c)Vì $M . N = \frac{1}{101}$ mà $M < N$ nên ta suy ra được: $M . M < \frac{1}{101} < \frac{1}{100}$

Tức là M.M < $\frac{1}{10} . \frac{1}{10}$ $\Rightarrow$ M < $\frac{1}{10}$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Bài tập chuyên đề Toán 6 Dạng 1: So sánh phân số có đáp án

Dạng 6: So sánh một tổng hoặc một tích nhiều phân số với một phân số có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương