Thứ sáu, 29/03/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 9 Toán Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Cực trị hình học có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Cực trị hình học có đáp án

Dạng 7. Bài luyện tập có đáp án

  • 1429 lượt thi

  • 59 câu hỏi

  • 45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R. Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH vuông góc với BC Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có tâm O1; O2 cắt AB, AC thứ tự tại D và E.

Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25 và BH = 10

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có BAC^  = 900 (vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn)

Tương tự có  BDH^=CEH^=900

Xét tứ giác ADHE có A^=ADH^=AEH^=900  => ADHE là hình chữ nhật.

Từ đó DE = AH mà  AH2 = BH.CH (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

hay AH2=10.40=400  (BH = 10; CH = 2.25 - 10 = 40) => DE = 20 (đơn vị độ dài)


Câu 3:

Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R. Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH vuông góc với BC Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có tâm O1; O2 cắt AB, AC thứ tự tại D và E.
Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác  DEO1O2đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó.
Xem đáp án

Media VietJack

Vì O1D = O1B   =>ΔO1BD cân tại   => B^=BDO1^  (2)

Từ (1), (2) =>ADE^+BDO1^=B^+BAH^ = 900 =>  O1D //O2E

Vậy  là hình thang vuông tại D và E.

Ta có S =12(O1D+O2E).DE=12O1O2.DE12O1O22

(Vì O1D+O2E=O1H+O2H=O1O2    DEO1O2)

Sht12O1O22=BC28=R22

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi  DE =O1O2

DEO1O2  là hình chữ nhật

A là điểm chính giữa cung BC Khi đó max SDEO1O2=R22 .


Câu 4:

Cho đường tròn (O), đường kính AB, d1, d2 là các các đường thẳng lần lượt qua A, B và cùng vuông góc với đường thẳng AB. Lấy M, N là các điểm lần lượt thuộc d1, d2 sao cho MON^  = 900.

Chứng minh đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng MN. Xét tứ giác OAMH

A^+H^=1800  (do  A^=H^=900)

=> OAMH là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Tương tự tứ giác OBNH nội tiếp được

=> A1^=M1^  ,   B1^=N1^ (2 góc nội tiếp chắn 1 cung)

A1^+B1^=M1^+N1^=900 => AHB^  = 900. Hay H thuộc (O) lại có  OHMN

=> MN là tiếp tuyến của (O)


Câu 6:

Cho đường tròn (O), đường kính AB, d1, d2 là các các đường thẳng lần lượt qua A, B và cùng vuông góc với đường thẳng AB. Lấy M, N là các điểm lần lượt thuộc d1, d2 sao cho MON^  = 900.

Xác định vị trí của M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

SMON=12OH. MN > 12  OH. AB (Vì AMNB là hình thang vuông)

Dấu “=” khi và chỉ khi MN = AB hay H là điểm chính giữa của cung AB

M, N song song với AB AM = BN =AB2.

Vậy SMON  nhỏ nhất khi và chỉ khi AM = BN =AB2.


Câu 7:

Cho ABC có 3 góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính AK.

Chứng minh tứ giác BHCK là hình hình hành.

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có ACK^=900  (vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên CK vuông góc với  AC mà BH vuông góc với AC (vì H trực tâm)

=> CK // BH tương tự có CH // BK

=> Tứ giác BHCK là hbh (đpcm)


Câu 8:

Cho ABC có 3 góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính AK.
Vẽ OM vuông góc với BC (M thuộc BC). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và AH = 2.OM.
Xem đáp án

Media VietJack

OM vuông góc với BC => M trung điểm của BC

(định lý đường kính và dây cung) => M là trung điểm của HK (vì BHCK là hình bình hành) => đpcm tam giác AHK có OM là đường trung bình => AH = 2.OM


Câu 9:

Cho ABC có 3 góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính AK.

Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao thuộc các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Khi BC cố định hãy xác định vị trí điểm A để tổng S = A’B’ + B’C’ + C’A’ đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có  AC'C^=BB'C^= 900=> tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn => AC'B'^  = ACB^ ACB^=BAx^  (Ax là tiếp tuyến tại A) => Ax // B’C’

OA vuông góc với  Ax => OA vuông góc với  B’C’. Do đó SAB’OC’ = 12 R.B’C’

Tương tự: SBA’OC’ = 12 R.A’C’; SCB’OA’ = 12 R.A’B’

SABC=12 = 12 R(A’B’ + B’C’ + C’A’)= 12 AA’.BC < 12 (AO + OM).BC

 A’B’ + B’C’ + C’A’, lớn nhất khi A, O, M thẳng hàng

 A là điểm chính giữa cung lớn BC


Câu 11:

Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 23 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.

Chứng minh hệ thức:  AM2 = AE.AC

Xem đáp án

Media VietJack

Theo giả thiêt MN ^AB, suy ra A là điểm chính giữa của MN  nên AMN^ = ACM^ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay AME^ = ACM^ , lại có CAM^  là góc chung do đó tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM

 AMAC  =  AEAMAM2=AE.AC      

C2:  AM2=AI.AB=AE.AC


Câu 12:

Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 23 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.

Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

Theo trên AMN^ = ACM^   AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DECM. Nối MB ta có AMB^=900 , do đó tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp DECM phải nằm trên BM.

Ta thấy NO1   nhỏ nhất khi NO1  là khoảng cách từ N đến BM  ^BM. Gọi O1 là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp D ECM có bán kính là O1M.

Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp D ECM là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn (O1), bán kính O1M với đường tròn (O) trong đó O1 là hình chiếu vuông góc của N trên BM.


Câu 14:

Cho đường tròn ( O; R ) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA=R2 . Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R.

Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Xem đáp án

Media VietJack

Theo bài ra ta có: AD + DE + AE = 2R (3).

Suy ra: DE = BD + CE (4).

Vẽ OM vuông góc với DE (M thuộc DE) (5)

Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho CF = BD; suy ra ∆BDO = ∆COF (c-g-c)

OD = OF; lại có DE = FE nên ∆ODE = ∆OFE (c-c-c)

OM = OC = R (hai đường cao tương ứng) (6).

Từ (5) và (6) suy ra DE là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).


Câu 15:

Cho đường tròn ( O; R ) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA=R2 . Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R.

Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆ADE.

Xem đáp án

Media VietJack

Đặt: AD = x; AE = y SADE=12xy  (x, y > 0)

Ta có: DE=AD2+AE2=x2 + y2  (định lí Pitago).

Vì AD + DE + AE = 2Rx + y + x2+y2  = 2R (6)

Áp dụng BĐT – Côsi cho hai số không âm ta có: x + y 2xy và x2 + y22xy  (7).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y.

Từ (6) và (7) suy ra:2xy+2xy2Rxy2+22R

xy2R2+2xy2R23+22   SADE R23+22SADE3 - 22R2 .

Vậy max SADE =322R2   x = y ∆ADE cân tại A


Câu 17:

Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB

Đoạn OM cắt đường tròn tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD

Xem đáp án

Media VietJack

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD DMCD cân tại MMI là một đường phân giác của CMD^ .

Mặt khác I là điểm chính giữa cung nhỏ CD  nên DCI^=12 DI = 12 CI=MCI^ 

CI là phân giác của MCD^ . Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD


Câu 18:

Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB

Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có tam giác MPQ cân ở M, có MO là đường cao nên diện tích của nó được tính: S=2SOQM=2.12.OD.QM=R(MD+DQ) . Từ đó S nhỏ nhất MD + DQ nhỏ nhất. Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMQ ta có DM.DQ=OD2=R2  không đổi nên MD + DQ nhỏ nhất DM = DQ = R. Khi đó OM = R2  hay M là giao điểm của d với đường tròn tâm O bán kính R2 .


Câu 19:

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và (O') Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có ABC^  ABD^  lần lượt là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) và (O’)  

ABC^=ABD^=900CBA^+ABD^=1800

Suy ra C, B, D thẳng hàng.


Câu 21:

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và (O')

Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt (O) và (O') thứ tự tại M và N. Xác định vị trí của d để CM + DN đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có CMA^=DNA^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); suy ra CM // DN hay CMND là hình thang.

Gọi I, K thứ tự là trung điểm của MN và CD Khi đó IK là đường trung bình của hình thang CMND Suy ra IK // CM // DN (1) và CM + DN = 2.IK (2)

Từ (1) suy ra IK vuông góc MN  IK  KA (3) (KA là hằng số do A và K cố định).

Từ (2) và (3) suy ra: CM + DN  2KA

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi IK = AK d vuông góc AK tại A

Vậy khi đường thẳng d vuông góc AK tại A thì (CM + DN) đạt giá trị lớn nhất bằng 2KA


Câu 23:

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI AB, MK AC (I AB,K AC)

Vẽ MP vuông góc BC (P thuộc BC). Chứng minh: MPK^=MBC^ .

Xem đáp án

Media VietJack

Tứ giác CPMK có MPC^=MKC^=900 (gt). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếpMPK^=MCK^ (1). Vì KC là tiếp tuyến của (O) nên ta có: MCK^=MBC^  (cùng chắn MC ) (2). Từ (1) và (2) suy ra MPK^=MBC^ (3)


Câu 24:

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI AB, MK AC (I AB,K AC)

Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp.

Suy ra: MIP^=MBP^ (4). Từ (3) và (4) suy ra MPK^=MIP^ .

Tương tự ta chứng minh được MKP^=MPI^ .

Suy ra: MPK ~ ∆MIPMPMK=MIMP

MI.MK = MP2  MI.MK.MP = MP3.

Do đó MI.MK.MP lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất (4)

- Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy ra OH là hằng số (do BC cố định).

Lại có: MP + OH  OM = R  MP  R – OH. Do đó MP lớn nhất bằng R – OH khi và chỉ khi O, H, M thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC (5).

Từ (4) và (5) suy ra max (MI.MK.MP) = ( R – OH )3 M nằm chính giữa cung nhỏ BC


Câu 27:

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

Chứng minh AC.BD =AB24  .

Xem đáp án

Media VietJack

Theo trên nên tam giác COD vuông tại O có OM CD ( OM là tiếp tuyến ).

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có  OM2=CM. DM,

Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC.BD=R2  =>AC.BD =AB24


Câu 28:

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

Chứng minh OC // BM

Xem đáp án

Media VietJack

Theo trên nên OC ^ OD(1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM ^ OD(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD).


Câu 29:

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính.

Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB

 IO // AC, mà AC ^ AB => IO ^ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD


Câu 31:

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất
Xem đáp án

Media VietJack

Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất, mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB.


Câu 32:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính . Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (M khác A và B). C là trung điểm của dây cung AM. Đường thẳng d là tiếp tuyến với nửa đường tròn tại B Tia AM cắt d tại điểm N. Đường thẳng OC cắt d tại E.
Chứng minh: tứ giác OCNB nội tiếp.
Xem đáp án

Media VietJack

Phần đường kính OC đi qua trung điểm C của AM Þ OC ^ AM Þ OCN^=90o .

BN là tiếp tuyến của (O) tại B Þ OB ^ BN ÞOBN^=90o.

Xét tứ giác OCNB có tổng hai góc đối:OCN^+OBN^=90o+90o=180o

Do đó tứ giác OCNB nội tiếp.


Câu 34:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính . Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (M khác A và B). C là trung điểm của dây cung AM. Đường thẳng d là tiếp tuyến với nửa đường tròn tại B Tia AM cắt d tại điểm N. Đường thẳng OC cắt d tại E.

Chứng minh: NO vuông góc với AE.

Xem đáp án

Media VietJack

Theo chứng minh trên, ta có:

OC ^ AM Þ EC ^ AN Þ EC là đường cao của DANE (1)

OB ^ BN Þ AB ^ NE Þ AB là đường cao của DAME (2)

Từ (1) và (2) suy ra O là trực tâm của DANE (vì O là giao điểm của AB và EC).

Þ NO là đường cao thứ ba của DANE.

Do đó; NO ^ AE (đpcm).


Câu 35:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính . Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (M khác A và B). C là trung điểm của dây cung AM. Đường thẳng d là tiếp tuyến với nửa đường tròn tại B Tia AM cắt d tại điểm N. Đường thẳng OC cắt d tại E.

Tìm vị trí điểm M sao cho (2.AM + AN) nhỏ nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có: 2.AM + AN = 4AC + AN (vì C là trung điểm của AM).

4AC.AN = 4AO.AB = 4R.2R = 8R2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:

4AC + AN ³24AC.AN=28R2=42R

Þ Tổng 2.AM + AN nhỏ nhất = Û 4AC = AN

Û AN = 2AM Û M là trung điểm của AN.

DABN vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên AM = MB

ÞAM=BM Þ M là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB

Vậy với M là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB thì (2.AM + AN) nhỏ nhất =42R .

 


Câu 37:

Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.

Gọi H là trực tâm của tam giác BPQ. Chứng minh H là trung điểm của OA;
Xem đáp án

Media VietJack

Có PO là đường trung bình của tam giác AEB PO // EB mà EB  BF  PO BF

Xét tam giác PBF có BA PF; PO BF nên BA và PO là các đường cao của tam giác PBF mà BA và PO căt nhau tại O nên O là trực tâm của tam giác PBF FO là đường cao thứ ba của tam giác PBF hay FO PB (1).

 Lại có H là trực tâm của tam giác PBQ nên QH  PB (2)Từ (1) và (2)  QH // FO. Xét tam giác AOF có Q là trung điểm của AF; QH // FO nên H là trung điểm của AO


Câu 38:

Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.

Xác định vị trí của đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

SBPQ=12AB(AP+AQ)=14AB.(AE+AF) (3)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm AE và AF ta có: AE + AF  (4)

( Dấu “=” xảy ra AE =AF)

Từ (3) và (4)  (5)SΔBPQ12.AB.AE.AF

Lại có: Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông EBF ta có:

AE.AF = AB2 (6) Từ (5) và (6) ta có SBPQAB22

Xảy ra dấu bằng khi AE = AF

Tam giác EBF vuông cân tại B

ACBD là hình vuông nên CD vuông góc AB

Vậy: Khi đường kính CD vuông góc với đường kính AB thì tam giác PBQ có diện tích nhỏ nhất


Câu 41:

Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa A và B Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P ( P khác I)

Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích tứ giác ABKI lớn nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

Từ giả thiết suy ra tứ giác AIKB là hình thang vuông, gọi s là diện tích của AIKB, khi đó ta có: . Dễ thấy s lớn nhất khi và chỉ khi KB lớn nhất (do A, B, I cố định).

Xét các tam giác vuông AICBKC có:    suy ra:  (góc có cạnh tương ứng vuông góc) hay  đồng dạng với (g-g).

Suy ra:ACBK=AIBCBK=AC.BCAI , khi đó: BK lớn nhất ACBC lớn nhất

Theo BĐT Côsi có:AC.CBAC+CB22=AB24 , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi C là trung điểm của AB Vậy diện tích tứ giác AIBK lớn nhất khi và chỉ khi C là trung điểm của AB


Câu 45:

Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và.B Nối AC cắt MN tại E.

Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.
Xem đáp án

Media VietJack

* Từ câu b) suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CME. Do đó tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nằm trên BM. Ta thấy khoảng cách NO1 nhỏ nhất khi và chỉ khi NO1 BM.)

* Dựng hình chiếu vuông góc của N trên BM ta được O1. Điểm C là giao của đường tròn đã cho với đường tròn tâm O1, bán kính O1M.


Câu 51:

Cho đường tròn (O), dây AB không đi qua tâm. Trên cung nhỏ AB lấy điểm M (M không trùng với A, B). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. Kẻ MK vuông góc với AN .

Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB Gọi E là giao điểm của HK và BN.

Xác định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

MAB^=MNB^=12 ;MAB^=MKH^=12 sđ MH

MNB^=MKH^K,M,E,N  cùng thuộc một đường tròn

MEN^+MKN^=1800MENB

SΔMAN=12MK.AN; ​​   ​SΔMNB=12ME.NB;  SAMBN=12MN.ABMK.AN+ME.BN=MN.AB

MK.NA+ME.NB lớn nhất  MN.AB lớn nhất

MN lớn nhất (Vì AB= const )  M là chính giữa


Câu 55:

Cho (O),dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên cung AB sao cho MA> MB (M¹A và M¹B), kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN.

Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn nhất.

Ta có  2SΔMAN=MQ.AN

 2SΔMBN=MP.BN.

2SDMAN + 2SDMBN = MQ.AN+MP.BN

Ta lại có: 2SDMAN + 2SDMBN =2(SDMAN + SDMBN)=2SAMBN=2. =AB.MN

Vậy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN

Mà AB không đổi nên tích ABMN lớn nhất Û MN lớn nhấtÛMN là đường kính

ÛM là điểm chính giữa cung AB


Câu 56:

Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi I là trung điểm của OA Vẽ đường tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q. Chứng minh rằng các đường tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có OI = OA – IA mà OA và IA lần lượt là các bán kính của đường tròn (O) và đường tròn (I). Vậy đường tròn (O) và đường tròn (I) tiếp xúc nhau tại A


Câu 57:

Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi I là trung điểm của OA Vẽ đường tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q. Chứng minh IP // OQ.

Xem đáp án

Media VietJack

DOAQ cân tại O ( vì OA và OQ cùng là bán kính ) => ÐA1 = ÐQ1

DIAP cân tại I ( vì IA và IP cùng là bán kính ) => ÐA1 = ÐP1

=> ÐP1 = ÐQ1 mà đây là hai góc đồng vị nên suy ra IP // OQ

Câu 58:

Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi I là trung điểm của OA Vẽ đường tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q. Chứng minh rằng AP = PQ.

Xem đáp án

Media VietJack

ÐAPO = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => OP ^ AQ => OP là đường cao của DOAQ mà DOAQ cân tại O nên OP là đường trung tuyến => AP = PQ.


Câu 59:

Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi I là trung điểm của OA Vẽ đường tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

(HD) Kẻ QH ^ AB ta có SAQB = ABQH. mà AB là đường kính không đổi nên SAQB lớn nhất khi QH lớn nhất. QH lớn nhất khi Q trùng với trung điểm của cung AB Để Q trùng với trung điểm của cung AB thì P phải là trung điểm của cung AO.

Thật vậy P là trung điểm của cung AO => PI ^ AO mà theo trên PI // QO => QO ^ AB tại O => Q là trung điểm của cung AB và khi đó H trung với O; OQ lớn nhất nên QH lớn nhất.


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương