4 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si .

Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Cực trị hình học có đáp án

Dạng 5. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si .

2203 lượt thi
4 câu hỏi
45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy . Vẽ các đường tròn có đường kính MA và MB . Xác định vị trí của điểm M để tổng diện tích của hai hình tròn có giá trị nhỏ nhất .

Xem đáp án

Đặt MA =x , MB = y

Ta có : x + y =AB (0 < x,y < AB)

Gọi S và S’ theo thứ tự là diện tích của hai hình tròn có đường kính là MA và MB .

Ta có: S +S’ = $π {(\frac{x}{2})}^{2} + π {(\frac{y}{2})}^{2}$ = $π$ . $\frac{x^{2} + y^{2}}{4}$

Ta có bất đẳng thức : $x^{2} + y^{2} \geq \frac{{(x + y)}^{2}}{2}$ nên :

S +S’ $\geq π . \frac{{(x + y)}^{2}}{8}$ = $π . \frac{A B^{2}}{8}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y

Do đó min (S+S’) = $π . \frac{A B^{2}}{8}$ . Khi đó M là trung điểm của AB.

Câu 2:

Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB .Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB . Qua M có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D . Xác định vị trí của các điểm C,D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất .

Xem đáp án

Ta có : S_MCD = $\frac{1}{2}$ MC.MD

Đặt MA = a , MB = b

$\hat{A M C} = \hat{BDM} = α$

MC = $\frac{a}{c os α}$ , MD = $\frac{b}{\sin α}$

S_MCD = $\frac{1}{2} . \frac{a b}{c os α . \sin α}$

Do a,b là hằng số nên S_MCD nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ 2sina.cosa lớn nhất .

Theo bất đẳng thức 2xy $⩽$ x² +y² ta có :

2sina.cosa $⩽$ sin²a +cos²a = 1 nên S_MCD ≥ ab

S_MCD = ab $\Leftrightarrow$ sina = cosa $\Leftrightarrow$ sina = sin(90⁰-a) $\Leftrightarrow$ a = 90⁰-a $\Leftrightarrow$ a = 45⁰

$\Leftrightarrow$ Tam giác AMC và tam giác BMD vuông cân.

Vậy min S_MCD= ab. Khi đó các điểm C,D được xác định trên tia Ax ; By sao cho AC = AM , BD = BM

Câu 3:

Cho tam giác ABC , điểm M di động trên cạnh BC . Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và với AB , chúng cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E.Xác định vị trí của điểm M sao cho hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

S_ADME lớn nhất $\Leftrightarrow$ $\frac{S_{A D M E}}{S_{A B C}}$ lớn nhất

Kẻ BK vuông góc AC cắt MD ở H.

S_ADME = MD . HK

S_ABC = $\frac{1}{2}$ AC . BK

$\frac{S_{A D M E}}{S_{A B C}} = 2. \frac{M D}{A C} . \frac{H K}{B K}$

Đặt MB = x , MC = y ,

MD//AC ta có : $\frac{M D}{A C} = \frac{B M}{B C} = \frac{x}{x + y}; \frac{H K}{B K} = \frac{M C}{B C} = \frac{y}{x + y}$

Theo bất đẳng thức $\frac{x y}{{(x + y)}^{2}} \leq \frac{1}{4} ⇒ \frac{S_{A D M E}}{S_{A B C}} = \frac{2 x y}{{(x + y)}^{2}} \leq \frac{1}{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y

Vậy max S_ADME= $\frac{1}{2}$ S_ABC khi đó M là trung điểm của BC.

Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a . Gọi D là trung điểm của AB. Điểm E di chuyển trên cạnh AC. Gọi H,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D, E đến BC . Tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH . Khi đó hình thang trở thành hình gì ?

Xem đáp án

Ta có :

2S_DEKH = (DH +EK).HK = ( BH +KC ) .HK

Mà (BH + KC) +HK =BC = a không đổi

Nên (BH + KC) .HK lớn nhất $\Leftrightarrow$ BH + KC) = HK = $\frac{a}{2}$

Do đó :

max S_DEKH = $\frac{1}{2} . \frac{a}{2} . \frac{a}{2} = \frac{a^{2}}{8}$

Khi đó đường cao HK = $\frac{a}{2}$ suy ra :

KC = BC -BH –HK = a - $\frac{a}{2} - \frac{a}{2} = \frac{a}{4}$

Do đó DH = HB = $\frac{a}{4}$ , EK = KC = $\frac{a}{4}$ .

Hình thang DEKH là hình chữ nhật , E là trung điểm của AC.

Bắt đầu thi ngay

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Cực trị hình học có đáp án

Dạng 5. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si .

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương