Dạng 8. Bài luyện tập tổng hợp có đáp án
-
2657 lượt thi
-
19 câu hỏi
-
45 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho hình vuông ABCD . Hãy xác định đường thẳng d đi qua tâm hình vuông sao cho tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng đó là : Lớn nhất
Xét trường hợp d cắt hai cạnh đối BC và AD (h.29)
Gọi m là tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến D.
m =2(AA’ +BB’)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và A’B’
Suy ra : m = 4MN do đó:
m lớn nhất Û MN lớn nhất
m nhỏ nhất Û MN nhỏ nhất
MN £ MO Þ m lớn nhất Û M≡O Û d//AB
Câu 2:
Cho hình vuông ABCD . Hãy xác định đường thẳng d đi qua tâm hình vuông sao cho tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng đó là :Nhỏ nhất
Xét trường hợp d cắt hai cạnh đối BC và AD (h.29)
Gọi m là tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến D.
m =2(AA’ +BB’)
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và A’B’
Suy ra : m = 4MN do đó:
m lớn nhất Û MN lớn nhất
m nhỏ nhất Û MN nhỏ nhất
kẻ MH ^ OB . Chứng minh MN ≥MH Þ MN nhỏ nhất Û N ≡H Û d≡BD hoặc d ≡AC.
Câu 3:
Cho DABC vuông cân tại A các điểm D,E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB , AC sao cho BD = AE . Xác định vị trí các điểm D,E sao cho :DE có độ dài nhỏ nhất .
Gọi M là trung điểm của BC .
DBDM = DAEM Þ^BMD=^AME
Þ^DME=^DMA+^AME=^DMA+^BMD=^BMA=900
Gọi I là trung điểm của DE .
DE = DI+IE =AI + IM ≥ AM
Min DE = AM Û I là trung điểm của AM
Û D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC
Câu 4:
Cho DABC vuông cân tại A các điểm D,E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB , AC sao cho BD = AE . Xác định vị trí các điểm D,E sao cho :Tứ giác BDEC có diện tích lớn nhất
Đặt AE = x, AB =AC =a thì AD = a - x , SADE =
SBDEC nhỏ nhất Û SADE lớn nhất Û x(a - x) lớn nhất
Do x +( a- x) = a không đổi nên x( a - x) lớn nhất Û x = a - x Û x = a/2
Khi đó D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC
Câu 5:
Cho D ABC vuông tại A có BC = a , diện tích là S . Gọi m là trung điểm của BC . Hai dường thẳng thay đổi qua M và vuông góc với nhau cắt các cạnh AB , AC ở D ,E .Tìm :Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng DE .
(h.31)Gọi O là trung điểm của DE
Ta có OA = OD =OE = OM
Þ DE = OA + OM ≥ AM =
minDE = a/2 Û O là trung điểm của AM
Câu 6:
Cho D ABC vuông tại A có BC = a , diện tích là S . Gọi m là trung điểm của BC . Hai dường thẳng thay đổi qua M và vuông góc với nhau cắt các cạnh AB , AC ở D ,E .Tìm : Giá trị nhỏ nhất của diện tích D MDE
(h.32)Kẻ MH ^ AB , MK ^ AC
ME ≥ MK , MD ≥ MH .
2SMDE = MD.ME ≥ MH.MK =AC2 .AC2=S2
minSMDE = Û D ≡ H và E ≡ K
Câu 7:
Cho điểm m di chuyển trên đoạn thẳng AB .Vẽ các tam giác đềuAMC và BMD về một phía của AB . Xác định vị trí của M để tổng diện tích hai tam giác đều tren là nhỏ nhất .
Gọi K là giao điểm của AC và BD .
Các tam giác AMC ,BMD đồng dạng với DAKB
Đặt AM = x ,BM = y , AB = a ta có :
S1S=(xa)2;S2S=(ya)2
ÞS1+S2S=x2+y2a2≥(x+y)22a2=a22a2=12
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
Do đó : min (S1 +S2) =12 Û M là trung điểm của AB.
Câu 8:
Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh a,b,c tương ứng đường cao AH =H. Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho nó có diện tích lớn nhất . Biết M ÎAB ; N Î AC ; P,Q Î BC.
Gọi I là giao điểm của AH và MN
Đặt NP =x ; MN = y ; AI = h - x
DAMN ~ D ABC
ÞMNBC=AIAH⇒ya=h−xh⇒y=a.h−xh
Þ SMNPQ = xy = . x(h - x)
Þ SMNPQ lớn nhất Û x(h - x)lớn nhất
x +(h - x) = h không đổi nên
x(h - x) lớn nhất Û x = h - x Û x = h/2
Khi đó MN là đường trung bình của DABC
Câu 9:
Kẻ AH ^BC , IE ^AH
ANIK ,IMHE là các hình chữ nhật.
IK2+ IN2 = IK2 +AK2 = AI2 ≥ AE2
nên IK2+ IN2 + IM2 = AI2 +EH2 ≥ AE2+EH2
Đặt AE = x , EH =y ta có :
Þ IK2+ IN2 + IM2 ≥ .
Dấu “=” xảy ra khi I là trung điểm của đường cao AH.
Câu 10:
Đặt BK = k , CM = m , AN = n ,
BC = a , AC = b , AB = c .
x2 +y2 +z2 =
=(IA2 - IK2 ) + (IB2 - IM2 ) + (IC2 - IN2 )
= (IA2 - IN2 ) + (IB2 - IK2 ) + (IC2 - IM2 ) = n2 + k2 + m2
Þ 2(x2 +y2 +z2 ) = x2 +y2 +z2 + n2 + k2 + m2
= ( x2+ k2 )+( y2+ m2 )+( z2 + n2 )
x2+ k2 ≥ (x+k)22=AB22=c22 y2+ m2 ≥(y+m)22=BC22=a22
z2 + n2 ≥ (z+n)22=AC22=b22
Þ x2 +y2 +z2 ≥ a2+b2+c24.
min(x2 +y2 +z2 ) = a2+b2+c24 Û x = k , y = m , z = n.
Û I là giao điểm của các đường trung trực của DABC.
Câu 11:
Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 10 cm .Một dây CD có độ dài 6cm có hai đầu di chuyển trên nửa đường tròn . Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên CD. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABFE.
Kẻ OH ^CD , ta tính được OH = 4cm
SABFE = 1/2(AE + BF).EF
= OH.EF £ OH. AB = 4.10 =40
max SABEF =40 cm2
Û EF // AB , khi đó OH ^ AB
Câu 12:
Cho hình vuông ABCD cạnh a .Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm trong hình vuông ) .một tiếp tuyến bất kỳ với cung đó cắt BC, CD theo thứ tự ở M và N. Tính độ dài nhỏ nhất của MN.
Đặt CM = m , CN = n , MN = x
m + n + x = 2CD = 2a và m2 +n2 = x2
Do đó : x2= m2 +n2 ≥
⇒2x2 ≥ ( 2a - x)2 Þ ≥ 2a - x
⇒ x ≥
⇒ min MN =2a Û m = n . Khi đó tiếp tuyến MN // BD , AM là tia phân giác của
⇒AN là phân giác của
Câu 13:
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A .Qua A vẽ hai tia vuông góc với nhau , chúng cắt các đường tròn (O) , (O’) lần lượt tại B và C. Xác định vị trí của các tia đó để D ABC có diện tích lớn nhất .
Kẻ OD ^ AB ; O’E ^ AC ta có:
SABC = AB.AC = .2AD.2AE= 2.AD.AE
Đặt OA =R ; O’A = r ;
AD = R sina ; AE = r cosa
Þ SABC = Rr. 2sina .cosa
2sina .cosa £ sin2a + cos2a =1
Þ SABC £ Rr
Þ Do đó :
max SABC = Rr Û sina = cosa Û sina = sin( 900- a ) Û a = 900 - a Û a = 450.
Vậy nếu ta vẽ các tia AB,AC lần lượt tạo với các tia AO, AO’ thành các góc thì D ABC có diện tích lớn nhất .
Câu 14:
Cho đường tròn (O;R) đường kính BC , A là một điểm di động trên đường tròn . Vẽ tam giác đều ABM có A và M nằm cùng phía đối với BC . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống MB. Gọi D, E , F, G theo thứ tự là trung điểm của OC, CM, MH, OH . Xác định vị trí của điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn nhất.
DEFG là hình bình hành.
Kẻ OI ^FH , ta có OI là đường trung bình của D BHC nên
OI = ½ HC = GD
MO là đường trung trực của AB nên Þ OI = ½
OM Þ GD = ½ OM
Mà ED = ½ OM Þ EG = GD
Þ DEFG là hình thoi
Þ ÞDEFG đều
Þ SDEFG =2SEFG = 2.EF2√34=EF2√32 =(HC2)2√32 £ (BC2)2√32=R2√32
max S =R2√32 Û H ≡ B Û^MBC=900 Û ^ABC=300 Û AC = R.
Câu 15:
Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) D là điểm bất kỳ thuộc cung BC không chứa A và không trùng với B,C. Gọi H,I,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng BC , AC, AB . Đặt BC = a , AC = b ,AB = c, DH = x , DI = y , DK = z . Chứng minh rằng :by+cz=ax
Lấy E trên BC sao cho
DCDE đồng dạng với D ADB
ÞDHDK=CEAB⇒xz=CEc⇒cz=CEx
Tương tự DBDE đồng dạng với D ADC
ÞDHDI=BEAC⇒xy=BEb⇒by=BEx
Þby+cz=BE+CEx=ax
Câu 16:
Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) D là điểm bất kỳ thuộc cung BC không chứa A và không trùng với B,C. Gọi H,I,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng BC , AC, AB . Đặt BC = a , AC = b ,AB = c, DH = x , DI = y , DK = z .Tìm vị trí của điểm D để tổng ax+by+cz nhỏ nhất
ax+by+cz=ax+ax =2ax.Do đó S nhỏ nhất Û ax nhỏ nhất Û x lớn nhất Û D≡M ( M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A)
Câu 17:
Tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ.
Kẻ OH ^ PQ . Đặt =a thì = a
PQ = 2 PH = 2.OP sina = AM sina
Do a không dổi nên
PQ nhỏ nhất Û AM nhỏ nhất Û AM ^BC.
Câu 18:
Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB .Vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB các nửa đường tròn có đường kính AB,AC,BC . Xác định vị trí của điểm C trên đoạn AB để diện tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn đó dạt giá trị lớn nhất.
Gọi (O1;r1);(O2;r2);(O3;r3) là các đường tròn có đường kính là Ab,AC,BC
Đặt AB = 2a , AC =2x thì r1 = a , r2= x Suy ra BC =2a - 2x và r3 = a - x
Gọi S là diện tích giới hạn bởi ba đường tròn
Ta có :S=πr212−(πr222+πr232)πa22−πx22−π(a−x)22=πx(a−x)
S lớn nhất Û x( a -x) lớn nhấtMặt khác x + (a - x) = a không đổi nên
x( a -x) lớn nhất Û x = a - x Û x =a2 Û C ≡O1
Lúc đó ta có S =πa24
Câu 19:
Gọi x là bán kính đường tròn (O1) Khi đó 2x là bán kính đường tròn (O2 ) (h.44)
Xét DOO1O2 ta có : O1O2 £ O O1 +OO2
Þ 3x £ (R - x) +( R - 2x) Þ 6x £ 2R Þ x £R3
Gọi S là phần diện tích hình tròn (O) nằm ngoài các đường tròn (O1)và (O2 ) , ta có :
S =πR2−πx2−π4x2=π(R2−5x2)
Do x £ R3 nên x2 £ R29 Þ S ≥ 4πR29 ;
min S =4πR29Û x =R3
Khi đó O1,O,O2 thẳng hàng và bán kính các đường tròn (O1) và (O2 ) là R3 và 2R3 (h.45).