a)  $\Delta ={\left(2m-1\right)}^2-4.\left(m^2-1\right)=5-4m$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi  $\Delta >0\iff 5-4m>0\iff m<\frac{5}{4}$

$\Delta =5^2-\mathrm{4.1.}\left(3m-1\right)=29-12m$

Để phương trình có hai nghiệm   $\Rightarrow \Delta \ge 0\Rightarrow 29-12m\iff m\le \frac{29}{12}$

Áp dụng hệ thức Vi-ét   $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-5\\ x_1{x}_2=3m-1\end{array}\right.$

Ta có: $x_1^3-x_2^3+3x_1{x}_2=75$

 $\iff \left(x_1-x_2\right)\left({\left(x_1+x_2\right)}^2-x_1{x}_2\right)+3x_1{x}_2=75$

$\iff \left(x_1-x_2\right)\left(25-x_1{x}_2\right)+3x_1{x}_2=75$

$\iff \left(x_1-x_2\right)=\frac{75-3x_1{x}_2}{\left(25-x_1{x}_2\right)}$

$\iff \left(x_1-x_2\right)=\frac{75-3(3m-1)}{\left[25-(3m-1)\right]}\iff \left(x_1-x_2\right)=\frac{78-9m}{26-3m}$

$\iff \left(x_1-x_2\right)=\frac{3(26-3m)}{26-3m}\iff x_1-x_2=3$

Kết hợp $x_1+x_2=-5$  suy ra  $x_1=-1;x_2=-4$Thay vào $x_1{x}_2=3m-1$  suy ra $m=\frac{5}{3}$  (thỏa mãn $m\le \frac{29}{12}$ )

Vậy $m=\frac{5}{3}$   là giá trị cần tìm.

a) Với m=1 phương trình đã cho trở thành $x^2-10x+9=0$

Ta có  a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là $\left[\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_2=9\end{array}\right.$

b) $\Delta \text{'}={\left(-5m\right)}^2-1.9m=25m^2-9m$

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $\Delta \text{'}>0\iff 25m^2-9m>0$  (*)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=10m\text{ (*)}\\ x_1{x}_2=9m\text{ (**)}\end{array}\right.$

từ (*) và giả thiết $x_1-9x_2=0$  ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=10m\\ x_1-9x_2=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}10x_2=10m\\ x_1=9x_2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_2=m\\ x_1=9m\end{array}\right.$

Thay vào phương trình (**) ta có:  $x_1{x}_2=9m9m^2=9m\iff 9m(m-1)=0\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=1\end{array}\right.$

Với m=0  ta có $\Delta \text{'}=25m^2-9m=0$  không thỏa mãn điều kiện phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Với m=1   ta có $\Delta \text{'}=25m^2-9m=16>0$ thỏa mãn điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Kết luận: Vậy với m=1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt $x_1$ ,$x_2$  thỏa điều kiện $x_1-9x_2=0$  .

a) Với m=0, phương trình đã cho trở thành: $x^2-2x-1=0$

$\Delta \text{'}=2{\text{ ; x}}_{1,2}=1\pm \sqrt{2}$

Vậy với m=0 thì nghiệm của phương trình đã cho là $x_{1,2}=1\pm \sqrt{2}$.

b)  $\Delta \text{'}=m+2$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\iff \Delta >0\iff m+2>0\iff m>-2$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2(m+1)\\ x_1{x}_2=m^2+m-1\end{array}\right.$

Do đó: $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=4\iff \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=4\iff \frac{2(m+1)}{m^2+m-1}=4$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+m-1\ne 0\\ m+1=2(m^2+m-1)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+m-1\ne 0\\ 2m^2+m-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow m\in \left\{1;-\frac{3}{2}\right\}$  là các giá trị cần tìm.

a) Với m=-1 phương trình trở thành $\frac{1}{2}{x}^2+x-\frac{9}{2}=0\iff x^2+2x-9=0$

$\Delta \text{'}=10>0$. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt $x_1=-1-\sqrt{10};x_2=-1+\sqrt{10}$

b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì  

$\iff {\left(-m\right)}^2-4.\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{2}{m}^2+4m-1\right)>0\iff -8m+2>0\iff m<\frac{1}{4}$

Để phương trình có nghiệm khác 0 $\Delta >0$$\iff \frac{1}{2}{m}^2+4m-1\ne 0$

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{m}_1\ne -4-3\sqrt{2}\\ m_2\ne -4+3\sqrt{2}\end{array}\right.$ 

Theo bài ra có $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=x_1+x_2\iff \left(x_1+x_2\right)\left(x_1{x}_2-1\right)=0\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=0\\ x_1{x}_2-1=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2m=0\\ m^2+8m-3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=0\\ m=-4-\sqrt{19}\\ m=-4+\sqrt{19}\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện $m<\frac{1}{4}$ ;  $m_1\ne -4-3\sqrt{2};m_2\ne -4+3\sqrt{2}$ta được $m=0;m=-4-\sqrt{19}$

Vậy $m=0;m=-4-\sqrt{19}$  là các giá trị cần tìm.

a) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

$\iff {\left[-\left(m-1\right)\right]}^2-1.\left(m^2-3\right)\ge 0$

$\iff -2m+4\ge 0$

$\iff m\le 2$

b) Với $m<2$  thì phương trình đã cho có hai nghiệm.

Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là a thì nghiệm kia là 3a. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{c}a+3a=2m-2\text{ (1)}\\ a.3a=m^2-3\text{ (2)}\end{array}\right.$

Từ phương trình (1) $\Rightarrow a=\frac{m-1}{2}$ thế vào phương trình (2) ta có $3{\left(\frac{m-1}{2}\right)}^2=m^2-3$

$\iff m^2+6m-15=0$ có $\Delta \text{'}=24>0$   .

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

$m_2=-3+2\sqrt{6};m_2=-3-2\sqrt{6}$(thỏa mãn điều kiện $m\le 2$  )

Vậy  $m=-3\pm 2\sqrt{6}$là các giá trị cần tìm.

a) Ta có $\Delta \text{'}=1^2-1.\left(-m^2-1\right)=1+m^2+1=m^2+2>0$ , với mọi m

Vì $\Delta \text{'}>0$ , với mọi nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$  thỏa hệ thức Vi-ét:

$\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-2}{1}=-2\\ P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-m^2-1}{1}=-m^2-1\end{array}\right.$

c) Ta có $x_1+x_2=-2$  (do trên) và $x_1=-3x_2$  nên ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-2\\ x_1=-3x_2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-2\\ x_1+3x_2=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-2\\ -x_1-3x_2=0\end{array}\right.\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-2\\ -2x_2=-2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1+1=-2\\ x_2=1\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1=-3\\ x_2=1\end{array}\right.\right.\right.\left(*\right)$

Thay(*)   vào biểu thức $x_1{x}_2=-m^2-1$  ta được:

$\left(-3\right).1=-m^2-1\iff m^2=2\iff m=\pm \sqrt{2}$

 Vậy $m=\pm \sqrt{2}$   là các giá trị cần tìm.

Phương trình  $x^2-\left(2m+2\right)x+2m=0\iff x^2-2\left(m+1\right)x+2m=0$

Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm $x_1$ ,$x_2$  là

$\left\{\begin{array}{l}\Delta \text{'}\ge 0\\ x_1+x_2\ge 0\\ x_1{x}_2\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+1\ge 0\\ 2(m+1)\ge 0\\ 2m\ge 0\end{array}\right.\iff m\ge 0$

Theo hệ thức Vi-ét: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m+1\right)\\ x_1{x}_2=2m\end{array}\right.$

Ta có $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\le \sqrt{2}\iff x_1+x_2+2\sqrt{x_1{x}_2}\le 2$

$\iff 2m+2+2\sqrt{2m}\le 2\iff m=0$ (thoả mãn)

Vậy m=0 là giá trị cần tìm.

a) Ta có $\Delta ={\left[-2\left(m-1\right)\right]}^2-\mathrm{4.1.}\left(2m-5\right)=4m^2-12m+22$

 $={\left(2m\right)}^2-2.2m.3+9+13={\left(2m+3\right)}^2+13>0,\forall m$  

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2m-2\\ x_1{x}_2=2m-5\end{array}\right.$  (I)

Theo giả thiết $x_1<1<x_2\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1-1<0\\ x_2-1>0\end{array}\right.\Rightarrow \left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)<0\Rightarrow x_1{x}_2-\left(x_1+x_2\right)+1<0$  (II)

Thay (I) vào (II) ta có: $\left(2m-5\right)-\left(2m-2\right)+1<0\iff 0.m-2<0$ , đúng với mọi m  .

Vậy với mọi  m thì phương trình trên có hai nghiệm $x_1$ , $x_2$  thỏa mãn $x_1<1<x_2$

a) Ta có $a.c=1.\left(-1\right)=-1<0$ , với  $\forall m$nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m  .

b) Ta có $x_1;x_2$là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: $x_1^2-m{x}_1-1=0$và $x_2^2-m{x}_2-1=0$

 hay   $\left\{\begin{array}{l}{x}_1^2=m{x}_1+1\\ x_2^2=m{x}_2+1\end{array}\right.$

 Do đó $P=\frac{x_1^2+x_1-1}{x_1}-\frac{x_2^2+x_2-1}{x_2}=\frac{m{x}_1+1+x_1-1}{x_1}-\frac{m{x}_2+1+x_2-1}{x_2}$

$=\frac{x_1\left(m+1\right)}{x_1}-\frac{x_2\left(m+1\right)}{x_2}=\left(m+1\right)-\left(m+1\right)=0$ vì $x_1$ , $x_2\ne 0$ .

Vậy $P=0$ .

Do $4+\sqrt{3}$  là nghiệm của phương trình nên thỏa mãn phương trình:

${\left(4+\sqrt{3}\right)}^2-8\left(4+\sqrt{3}\right)+m=0$

$\iff m-13=0\iff m=13$

Thay m=13 vào phương trình ta được phương trình:  $x^2-8x+13=0$ (*) 

${\Delta }^{\text{'}}={\left(-4\right)}^2-1.13=3$

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:  $\left[\begin{array}{l}{x}_1=4+\sqrt{3}\\ x_2=4-\sqrt{3}\end{array}\right.$

Vậy $x=4-\sqrt{3}$  là giá trị cần tìm.

a) Vì phương trình $x^2-2x+m+3=0$  có nghiệm $x=-1$   nên ta có:

  ${(-1)}^2-2.(-1)+m+3=0\iff m+6=0\iff m=-6$.

Ta có phương trình: $x^2-2x+(-6)+3=0\iff x^2-2x-3=0$

Ta có $a-b+c=0$  nên phương trình có hai nghiệm:$x_1=-1$ ; $x_2=\frac{-c}{a}=3$

Vậy $m=6$  và nghiệm còn lại là $x=3$ .

b) $\Delta \text{'}=1^2-1.\left(m+3\right)=-m-2$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $v\iff {\Delta }^{\text{'}}>0\iff m<-2$

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ x_1{x}_2=m+3\end{array}\right.$

Ta có   $x_1^3+x_2^3=8$

$\iff {(x_1+x_2)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)=8$

$\iff 2^3-3.(m+3).2=8$

$\iff 6(m+3)=0$

$\iff m+3=0$

 $\iff m=-3$(thỏa mãn điều kiện)

Vậy  $m=-3$là giá trị cần tìm.

a) ${\Delta }^{\text{'}}={\left(-m\right)}^2-1.\left(m^2-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}>0$ , $\forall m$ .

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

b) Hai nghiệm của phương trình là $\left[\begin{array}{l}{x}_1=m-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ x_2=m+\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có  $\left|m-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|=\left|m+\frac{\sqrt{2}}{2}\right|\iff m^2-\sqrt{2}m+\frac{1}{2}=m^2+\sqrt{2}m+\frac{1}{2}\iff 2\sqrt{2}m=0\iff m=0$

c) Giả sử phương trình có hai nghiệm là $x_1;x_2$ . Theo đề bài đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 nên ta có $x_1^2+x_2^2=3^2=9$

Vậy ta có:

${\left(m-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(m+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=9\iff 2m^2-8=0\iff m^2-4=0\iff \left[\begin{array}{l}m=2\\ m=-2\end{array}\right.$

 Vậy $\left[\begin{array}{l}m=2\\ m=-2\end{array}\right.$  là các giá trị cần tìm.

a) Ta có $\Delta \text{'}=1^2-1.\left(-m^2-1\right)=1+m^2+1=m^2+2>0$ , với mọi m

Vì $\Delta \text{'}>0$ , m với mọi nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$  thỏa hệ thức Vi-ét:

$\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=\frac{-2}{1}=-2\\ P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-m^2-1}{1}=-m^2-1\end{array}\right.$

c) Ta có  $x_1+x_2=-2$(do trên) và $x_1=-3x_2$  nên ta có hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-2\\ x_1=-3x_2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-2\\ x_1+3x_2=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-2\\ -x_1-3x_2=0\end{array}\right.\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-2\\ -2x_2=-2\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1+1=-2\\ x_2=1\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_1=-3\\ x_2=1\end{array}\right.\right.\right.\left(*\right)$

Thay (*) vào biểu thức  $x_1{x}_2=-m^2-1$ta được: $\left(-3\right).1=-m^2-1\iff m^2=2\iff m=\pm \sqrt{2}$

Vậy $m=\pm \sqrt{2}$  là các giá trị cần tìm.

$\Delta ={\left(-m^2\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(m+1\right)=m^4-4m-4$

Phương trình có nghiệm nguyên khi $\Delta =m^4-4m-4$  là số chính phương

Nếu $\left[\begin{array}{l}m=0\\ m=1\end{array}\right.$  thì $\Delta <0$  (loại)

Nếu $m=2$  thì  $\Delta =4=2^2$(nhận)

Nếu $m\ge 3$  thì $2m\left(m-2\right)>5\iff 2m^2-4m-5>0$

$\iff \Delta -\left(2m^2-4m-5\right)<\Delta <\Delta +4m+4$

$\iff m^4-2m^2+1<\Delta <m^4$

$\iff {\left(m^2-1\right)}^2<\Delta <{\left(m^2\right)}^2$

$∆$ không là số chính phương.

Vậy m=2  là giá trị cần tìm

a) Ta có:$\Delta \text{'}={\left[-\left(m-4\right)\right]}^2-\left(m-6\right)$

$\Delta \text{'}={\left(m-4\right)}^2-m+6$

$\Delta \text{'}=m^2-8m+16-m+6$

$\Delta \text{'}=m^2-9m+22$

$\Delta \text{'}={\left(m-\frac{9}{2}\right)}^2+\frac{7}{2}>0,\forall m$

Do $\Delta \text{'}>0,\forall m$  nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo câu a,$\Delta \text{'}>0,\forall m\Delta \text{'}>0,\forall m$  nên phương trình luôn có hai nghiệm $x_1,x_2$  thỏa hệ thức Vi-ét:

 $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\left[-2\left(m-4\right)\right]=2\left(m-4\right)=2m-8\\ x_1.x_2=\frac{c}{a}=m-6\end{array}\right.$

Có: $A=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}=\frac{2m-8}{m-6}=\frac{2\left(m-6\right)+12-8}{m-6}$

$=\frac{2\left(m-6\right)+4}{m-6}=\frac{2\left(m-6\right)}{m-6}+\frac{4}{m-6}=2+\frac{4}{m-6}$

Để thì $A\in \mathbb{Z}$  suy ra$4⋮\left(m-6\right)$  hay $m-6\in$Ư(4)=   $\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}$

Lập bảng:

Vậy  $m\in \left\{2;4;5;7;8;10\right\}$ thì $A\in \mathbb{Z}$ .

a) Ta có:$\Delta \text{'}={\left[-\left(m-2\right)\right]}^2-\left(-2m\right)={\left(m-2\right)}^2+2m=m^2-4m+4+2m$

  $={\left(m-1\right)}^2+3>0,\forall m$

Do $\Delta \text{'}>0,\forall m$  nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo câu a,  $\Delta \text{'}>0,\forall m$nên phương trình luôn có hai nghiệm $x_1,x_2$  thỏa hệ thức Vi-ét:  

$\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\left[-2\left(m-2\right)\right]=2\left(m-2\right)=2m-4\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=-2m\end{array}\right.$

Có $x_1$  là nghiệm của phương trình nên ta có ${x_1}^2-2\left(m-2\right)x_1-2m=0\iff {x_1}^2=2\left(m-2\right)x_1+2m$

Theo đề toán: $x_2-x_1=x_1^2\iff x_2-x_1=2\left(m-2\right)x_1+2m$

$$\begin{gathered} \iff 2m-4-x_1-x_1=2\left(m-2\right)x_1+2m \\ \iff -4-2x_1=\left(2m-4\right)x_1 \\ \iff x_1=\frac{4}{2-2m}\iff x_1=\frac{2}{1-m} \end{gathered}$$

Thay$x_1=\frac{2}{1-m}$  vào (1),ta được: ${\left(\frac{2}{1-m}\right)}^2-2\left(m-2\right)\left(\frac{2}{1-m}\right)-2m=0$

$$\begin{gathered} \iff \frac{4}{{\left(1-m\right)}^2}-\frac{4\left(m-2\right)\left(1-m\right)}{{\left(1-m\right)}^2}-\frac{2m{\left(1-m\right)}^2}{{\left(1-m\right)}^2}=0 \\ \Rightarrow 4-4\left(-m^2+3m-2\right)-2m\left(1-2m+m^2\right)=0 \\ \iff 4+4m^2-12m+8-2m+4m^2-2m^3=0 \\ \iff 2m^3-8m^2+14m-12=0 \\ \iff m^3-4m^2+7m-6=0 \\ \iff \left(m-2\right)\left(m^2-2m+3\right)=0 \\ \iff m=2 \end{gathered}$$.

Vậy $\text{m}=\text{2}$  là giá trị cần tìm.

a) Ta có: $\Delta \text{'}={\left(-1\right)}^2-\left(-2m^2\right)=1+2m^2>0,\forall m$

Do$\Delta \text{'}>0,\forall m$  nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo câu a, $\Delta \text{'}>0,\forall m$nên phương trình luôn có hai nghiệm thỏa hệ thức Vi-ét:  

$\left\{\begin{array}{l}S=x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-\left(-2\right)=2\\ P=x_1.x_2=\frac{c}{a}=-2m^2\left(3\right)\end{array}\right.$

Có: $x_1^2=4x_2^2\iff \left[\begin{array}{l}{x}_1=2x_2\\ x_1=-2x_2\end{array}\right.$

TH1:  $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=2x_2\\ x_1+x_2=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{4}{3}\\ x_2=\frac{2}{3}\end{array}\right.$thay vào  (2) .Ta được:$\frac{4}{3}\cdot \frac{2}{3}=-2m^2$  (vô lý)

TH2: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-2x_2\\ x_1+x_2=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=4\\ x_2=-2\end{array}\right.$  thay vào (3)  . Ta được: $4\left(-2\right)=-2m^2\iff m^2=4\iff m=\pm 2$  

Vậy $\text{m}=\pm \text{2}$  là giá trị cần tìm .

a) Với  $m=6$ phương trình (1)  trở thành  $x^2–5x+6=0 (*)$

$\Delta =25–4.6=1>0$. Suy ra phương trình có hai nghiệm:   $x_1=3;x_2=2.$

b) Ta có:  $\Delta =25-4m$

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_1,x_2$  thì $\Delta >0\iff m<\frac{25}{4}$ .

Kết hợp với hệ thức Vi-ét, ta có :

 $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=5\left(1\right)\\ x_1{x}_2=m\left(2\right)\\ \left|x_1-x_2\right|=3\left(3\right)\end{array}\right.$. Giải hệ $\left(1\right),\left(3\right)$  :$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=5\\ \left|x_1-x_2\right|=3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=5\\ x_1-x_2=3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=5\\ x_1-x_2=-3\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_2=4\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}{x}_1=4\\ x_2=1\end{array}\right.\end{array}\right.\left(4\right)$  

Từ  (2) và (4) suy ra:$m=4$ . Thử lại thì thoả mãn. Vậy $m=4$  là giá trị cần tìm.

Đặt $X=x^2\left(X\ge 0\right)$

Phương trình trở thành $X^4-(m^2+4m)X^2+7m-1=0$  (1)

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt Û (1) có 2 nghiệm phân biệt dương         

  $\iff \left\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ S>0\\ P>0\end{array}\right.$   (I)   $\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(m^2+4m\right)}^2-4(7m-1)>0\\ m^2+4m>0\\ 7m-1>0\end{array}\right.$

Với điều kiện (I), (1) có 2 nghiệm phân biệt dương , .

Þ Phương trình đã cho có 4 nghiệm

$x_{1,2}=\pm \sqrt{X_1}$ ;

$x_{3,4}=\pm \sqrt{X_2}$

$\Rightarrow x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=2(X_1+X_2)=2(m^2+4m)$

Vậy ta có $2(m^2+4m)=10\Rightarrow m^2+4m-5=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-5\end{array}\right.$

Với $m=1$ , (I) thỏa mãn

Với $m=-5$ , (I) không thỏa mãn.        

Vậy  $m=1$là giá trị cần tìm.

a) $\Delta ={\left(2m+1\right)}^2-4\left(m^2+m-6\right)=25>0\iff 25>0$  với mọi giá trị của m.