Chủ đề 1: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
-
728 lượt thi
-
40 câu hỏi
-
60 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Giải hệ phương trình sau: .
Giải chi tiết
Cách 1: Giải bằng phương pháp cộng đại số
Nhận xét: Bằng phương pháp cộng đại số, bài toán có hai hướng làm:
Để hệ số x bằng nhau ta nhân hai vế của (1) với 2, nhân hai vế của (2) với 3.
Để hệ số y bằng nhau đối nhau ta nhân hai vế của (2) với 2.
Ở bài này, làm theo hướng 2:
.
Cộng các vế tương ứng của hai phương trình ta có: .
Thay vào phương trình (2) ta được: .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là .
Cách 2: Giải bằng phương pháp thế
Nhận xét: Ta nên rút y theo x ở phương trình hai của hệ, vì hệ số của y là 1.
Ta có: .
Thay vào (1) ta được:
Với x = 3 thì .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là .
Câu 2:
Giải hệ phương trình sau: .
Giải chi tiết
Nhận xét: Hệ phương trình chưa có dạng bậc nhất hai ẩn nên bước đầu tiên chúng ta rút gọn các phương trình của hệ đưa về phương trình bậc nhất hai ẩn.
.
Cộng các vế tương ứng của hai phương trình ta có: .
Thay x = 2 vào phương trình thứ hai: .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là .
* Ta cũng có thể dùng phương pháp thế để giải hệ phương trình.
Câu 3:
Giải chi tiết
Nhân cả hai vế của (1) với ta được:
Cộng các vế tương ứng của hai phương trình ta có: .
Thay vào (1): .
Vậy hệ phương trình có nghiệm .
Câu 4:
Giải hệ phương trình: .
Giải chi tiết
.
Thay vào (1) ta được: .
Với thì .
Vậy hệ phương trình có nghiệm là .
Câu 5:
Giải hệ phương trình: .
Giải chi tiết
.
Trừ các vế tương ứng của hai phương trình ta có: .
Thay x = 1 vào phương trình thứ nhất: .
Vậy hệ phương trình có nghiệm là .
* Hệ phương trình chưa có dạng bậc nhất hai ẩn nên bước đầu tiên chúng ta rút gọn các phương trình của hệ đưa về phương trình bậc nhất hai ẩn. Rút gọn xy ở cả hai vế của hai phương trình.
Câu 6:
Giải hệ phương trình: (I).
Giải chi tiết
Đặt (điều kiện: )
Ta có hệ: (thỏa mãn).
Với t = 1 thì .
Vậy hệ phương trình có nghiệm là .
* Vì cả hai phương trình đều có nên ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ phương trình có trị tuyệt đối nên ta có thể chia hai trường hợp dể phá dấu trị tuyệt đối để được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (nhưng cách này sẽ dài hơn cách đặt ẩn phụ).
Câu 7:
Giải hệ phương trình: .
Giải chi tiết
Điều kiện xác định: .
Đặt .
Ta có hệ: (thỏa mãn).
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là .
Câu 8:
Giải chi tiết
Điều kiện xác định: .
Đặt .
Ta có hệ: (thỏa mãn).
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm là .
Câu 9:
Giải hệ phương trình: .
Giải chi tiết
Nhận xét: Cả hai phương trình đều có nên đặt được ẩn phụ.
Ta biến đổi: . Vậy đặt .
Điều kiện xác định: và .
Đặt .
Ta có hệ: (thỏa mãn).
(thỏa mãn).
Vậy hệ phương trình có nghiệm là .
Câu 10:
Cho hệ phương trình . Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất.
Giải chi tiết
Với m = 0 thì hệ , hệ có nghiệm.
Với . Hệ có nghiệm duy nhất (luôn đúng).
Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.
* Khi lập tỉ số nếu hoặc có tham số m thì ta phải xét thêm trường hợp hoặc .
Câu 11:
Cho hệ phương trình . Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó.
Giải chi tiết
Hệ .
Hệ có nghiệm duy nhất .
Từ phương trình (2) ta có: . Thay vào phương trình (1) ta được:
.
Vậy với thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là .
Câu 12:
Cho hệ phương trình (m là tham số).
a) Giải hệ phương trình với m= 2.
Giải chi tiết
a) Với m = 2, ta có hệ:
Vậy với m=2 hệ phương trình có nghiệm là .
Câu 13:
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn .
b) Vì nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất .
Hệ phương trình có nghiệm .
Theo đề bài, ta có:
.
Vậy m= 1 hoặc m = -2 thì phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài.
Câu 14:
Cho hệ phương trình . Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó.
Giải chi tiết
Hệ .
Hệ có nghiệm duy nhất .
Từ phương trình (2) ta có: . Thay vào phương trình (1) ta được:
.
Vậy với thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là .
Câu 15:
Cho hệ phương trình (m là tham số).
a) Giải hệ phương trình với m =2 .
Giải chi tiết
a) Với m=2, ta có hệ:
Vậy với m=2 hệ phương trình có nghiệm là .
Câu 16:
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn .
b) Vì nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất .
Hệ phương trình có nghiệm .
Theo đề bài, ta có:
.
Vậy m=1 hoặc m= -2 thì phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài.
Câu 17:
Cho hệ phương trình (I) (a là tham số).
a) Giải hệ phương trình với a=1 .
Giải chi tiết
a) Với a=1, ta có hệ:
Vậy với a=1 hệ phương trình có nghiệm là .
Câu 18:
b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn là số nguyên.
b) Với a=0thì hệ , hệ có nghiệm.
Với . Hệ có nghiệm duy nhất (luôn đúng).
Hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi a.
.
(Vì nên rút gọn được ta có y=2).
Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất .
Xét:
Ta có: .
Mà theo đề bài để thì .
Vậy a=1 hoặc a= -1 thỏa mãn đề bài.
Lưu ý: Đối với bài toán tìm a để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì ta đi tìm khoảng giá trị của biểu thức A, tìm các giá trị nguyên của A trong khoảng này rồi thay vào tìm a. Phân biệt với bài toán tìm a là số nguyên để A nhận giá trị nguyên thì khi đó mới có Ư (4).
Câu 19:
Cho hệ phương trình (m là tham số). Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Khi đó, hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Giải chi tiết
Với m=0, ta có hệ: . Hệ có nghiệm duy nhất.
Với , hệ phương trình có nghiệm duy nhất .
Vậy với thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
.
Cộng hai vế của hai phương trình ta khử được tham số m. Hệ thức cần tìm là .
Câu 27:
Giải các hệ phương trình sau:
1)1) Điều kiện:
Đặt
Ta có hệ: (thỏa mãn điều kiện).
Câu 28:
Giải các hệ phương trình sau:
2,
2) Điều kiện:
Đặt
Ta có hệ: (thỏa mãn điều kiện).
Nghiệm của hệ phương trình là: .
Câu 29:
Giải các hệ phương trình sau:
3,
3) Điều kiện:
Đặt
Ta có hệ:
Nghiệm của hệ phương trình là: .
Câu 30:
Giải các hệ phương trình sau:
4) Điều kiện: và
Đặt
Ta có hệ:
Nghiệm của hệ phương trình là: .
Câu 32:
Giải các hệ phương trình sau:
6) Điều kiện:
Đặt
Ta có hệ:
Nghiệm của hệ phương trình là: .
Câu 33:
Cho hệ phương trình (m là tham số). Tìm m để x +y nhỏ nhất.
Hệ phương trình có nghiệm với mọi m.
Ta có:
.
Giá trị nhỏ nhất của là 4 đạt được khi m=1 .
Câu 34:
Cho hệ phương trình (m, n là tham số).
a) Không dùng máy tính cầm tay hãy giải hệ phương trình khi .
a) Khi thì nghiệm của hệ là: .
Câu 36:
Cho hệ phương trình (m là tham số).
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn .
Câu 37:
Cho hệ phương trình (I) (m là tham số).
a) Giải hệ phương trình khi m=2 .
a) Với thì nghiệm của hệ là .
Câu 38:
b) Tìm tất cả giá trị của m để (I) có nghiệm duy nhất.
b) Ta thấy: nên hệ (I) luôn có nghiệm duy nhất.
Câu 39:
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của , trong đó (x , y) là nghiệm duy nhất của (I).
c) Ta có:
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là đạt được khi .
Câu 40:
Cho hệ phương trình (m là tham số).
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm m nguyên để có giá trị nguyên.
Với m =0 thì ta có hệ: . Hệ có nghiệm duy nhất.
Với , hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi .
Khi đó:
Với m nguyên, đề A nhận giá trị nguyên thì Ư (6).
Ta có các trường hợp sau:
(loại).
.
(loại).
(loại).
Vậy là giá trị cần tìm.