Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp
-
6284 lượt thi
-
8 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Phân tích đa thức 2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy thành nhân tử.
Xem đáp án
2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy
= 2xy(x2 - y2 - 2y - 1)
= 2xy[x2 - (y2 + 2y + 1)]
= 2xy[x2 - (y + 1)2 ]
= 2xy(x + y + 1)(x - y - 1)
Câu 2:
a) Tính nhanh x2 + 2x + 1 - y2 tại x = 94,5 và y = 4,5.
b) Khi phân tích đa thức x2 + 4x – 2xy – 4y + y2 thành nhân tử, bạn Việt làm như sau:
x2 + 4x – 2xy – 4y + y2 = (x2 - 2xy + y2) + (4x – 4y)
= (x - y)2 + 4(x – y)
= (x – y)(x – y + 4).
Em hãy chỉ rõ trong cách làm trên, bạn Việt đã sử dụng những phương pháp nào để phân tích đa thức thành nhân tử.
Xem đáp án
a) x2 + 2x + 1 - y2 = (x + 1)2-y2 = (x + y + 1)(x - y + 1)
Thay x = 94,5 và y = 4,5 ta có:
(x + y + 1)(x - y + 1)
= (94,5 + 4,5 + 1)(94,5 - 4,5 + 1)
= 100.91
= 9100
b) x2 + 4x – 2xy – 4y + y2 = (x2-2xy+ y2) + (4x – 4y) → bạn Việt dùng phương pháp nhóm hạng tử
= (x - y)2 + 4(x – y) → bạn Việt dùng phương pháp dùng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung
= (x – y)(x – y + 4) → bạn Việt dùng phương pháp đặt nhân tử chung
Câu 3:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 – 2x2 + x.
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2
c) 2xy – x2 – y2 + 16
Xem đáp án
a) x3 – 2x2 + x
= x.x2 – x.2x + x (Xuất hiện nhân tử chung là x)
= x(x2 – 2x + 1) (Xuất hiện hằng đẳng thức (2))
= x(x – 1)2
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2 (có nhân tử chung là 2)
= 2.(x2 + 2x + 1 – y2) (Xuất hiện x2 + 2x + 1 là hằng đẳng thức)
= 2[(x2 + 2x + 1) – y2]
= 2[(x + 1)2 – y2] (Xuất hiện hằng đẳng thức (3))
= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)
c) 2xy – x2 – y2 + 16 (Có 2xy ; x2 ; y2, ta liên tưởng đến HĐT (1) hoặc (2))
= 16 – (x2 – 2xy + y2)
= 42 – (x – y)2 (xuất hiện hằng đẳng thức (3))
= [4 – (x – y)][4 + (x - y)]
= (4 – x + y)(4 + x – y).
Kiến thức áp dụng
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1)
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2 (2)
A2 – B2 = (A – B)(A + B) (3)
Câu 4:
Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
Xem đáp án
Ta có:
(5n + 2)2 – 4
= (5n + 2)2 – 22
= (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)
= 5n(5n + 4)
Vì 5 ⋮ 5 nên 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.
Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn chia hết cho 5 với n ∈ Ζ
Câu 5:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – 3x + 2
b) x2 + x – 6
c) x2 + 5x + 6
(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta có x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 và từ đó dễ dàng phân tích tiếp.
Cũng có thể tách 2 = - 4 + 6, khi đó ta có x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, từ đó dễ dàng phân tích tiếp)
Xem đáp án
Cách 1: Tách một hạng tử thành tổng hai hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.
x2 – 3x + 2
= x2 – x – 2x + 2 (Tách –3x = – x – 2x)
= (x2 – x) – (2x – 2)
= x(x – 1) – 2(x – 1) (Có x – 1 là nhân tử chung)
= (x – 1)(x – 2)
Hoặc: x2 – 3x + 2
= x2 – 3x – 4 + 6 (Tách 2 = – 4 + 6)
= x2 – 4 – 3x + 6
= (x2 – 22) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2) (Xuất hiện nhân tử chung x – 2)
= (x – 2)(x + 2 – 3) = (x – 2)(x – 1)
b) x2 + x – 6
= x2 + 3x – 2x – 6 (Tách x = 3x – 2x)
= x(x + 3) – 2(x + 3) (có x + 3 là nhân tử chung)
= (x + 3)(x – 2)
c) x2 + 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x)
= x2 + 2x + 3x + 6
= x(x + 2) + 3(x + 2) (Có x + 2 là nhân tử chung)
= (x + 2)(x + 3)
Cách 2: Đưa về hằng đẳng thức (1) hoặc (2)
a) x2 – 3x + 2
(Vì có x2 và 
nên ta thêm bớt 
để xuất hiện HĐT)
= (x – 2)(x – 1)
b) x2 + x - 6
= (x – 2)(x + 3).
c) x2 + 5x + 6
= (x + 2)(x + 3).
Câu 6:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, ( ab - 1 )2 + ( a + b )2
b, x3 + 2x2 + 2x + 1
c, x2 - 2x - 4y2 - 4y
Xem đáp án
a) Ta có ( ab - 1 )2 + ( a + b )2 = a2b2 - 2ab + 1 + a2 + 2ab + b2
= a2b2 + a2 + b2 + 1 = ( a2b2 + a2 ) + ( b2 + 1 )
= a2( b2 + 1 ) + ( b2 + 1 ) = ( a2 + 1 )( b2 + 1 )
b) Ta có x3 + 2x2 + 2x + 1 = ( x3 + 1 ) + ( 2x2 + 2x )
= ( x + 1 )( x2 - x + 1 ) + 2x( x + 1 ) = ( x + 1 )( x2 + x + 1 )
c) Ta có x2 - 2x - 4y2 - 4y = ( x2 - 4y2 ) - ( 2x + 4y )
= ( x - 2y )( x + 2y ) - 2( x + 2y )
= ( x + 2y )( x - 2y - 2 ).
Câu 7:
Tính giá trị của biểu thức sau A = x6 - 2x4 + x3 + x2 - x, biết x3 - x = 6.
Xem đáp án
Ta có: A = x6 - 2x4 + x3 + x2 - x = ( x6 - 2x4 + x2 ) + ( x3 - x )
= ( x3 - x )2 + ( x3 - x )
Với x3 - x = 6 = ( x3 - x )2 + ( x3 - x ), ta có A = 62 + 6 = 36 + 6 = 42.
Vậy A = 42.
