17 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Câu hỏi ôn tập chương 4

Câu 1:

Hãy vẽ đồ thị của các hàm số y = 2x², y = -2x². Dựa vào đồ thị để trả lời các câu hỏi sau:

a) Nếu a > 0 thì hàm số y = ax² đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào?

Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị lớn nhất không?

Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào? Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị lớn nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất không?

b) Đồ thị của hàm số y = ax² có những đặc điểm gì (trường hợp a > 0 , trường hợp a < 0)

Xem đáp án

Vẽ hình:

a) Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0

Với x = 0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0.

Không có giá trị nào của hàm số để đạt giá trị lớn nhất.

Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.

Hàm số đạt giá trị lớn nhất y = 0 khi x = 0 .

Không có giá trị bào của x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.

b) Đồ thị hàm số y = ax² là đường cong (đặt tên là parabol)

đi qua gốc tọa độ nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.

Nếu a > 0 thì đồ thị nằm trên trục hoành, điểm O

là điểm thấp nhất đồ thị (gọi là đỉnh parabol).

Nếu a < 0 thì đồ thị nằm bên dưới trục hoành,

điểm O là điểm cao nhất của đồ thị.

Câu 2:

Đối với phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), hãy viết công thức tính Δ, Δ'.

Khi nào thì phương trình vô nghiệm?

Khi nào phương trình có hai nghiệm phân biệt? Viết công thức nghiệm.

Khi nào phương trình có nghiệm kép? Viết công thức nghiệm.

Vì sao khi a và c trái dấu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Xem đáp án

Công thức tính Δ, Δ':

Câu 3:

Viết hệ thức Vi-et đối với các nghiệm của phương trình bậc hai: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Nêu điều kiện để phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm bằng 1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai.

Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình: 1954x² + 21x – 1975 = 0

Nêu điều kiện để phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm bằng -1. Khi đó, viết công thức nghiệm thứ hai.

Áp dụng: nhẩm nghiệm của phương trình: 2005x² + 104x – 1901 = 0

Xem đáp án

Câu 4:

Nêu cách tìm hai số, biết tổng S và tích P của chúng.

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

$a) \{\begin{cases} u + v = 3 \\ uv = - 8 \end{cases} b) \{\begin{cases} u + v = - 5 \\ uv = 10 \end{cases}$

Xem đáp án

Câu 5:

Nêu cách giải phương trình trùng phương ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0)

Xem đáp án

- Đặt ẩn phụ t = x² (1) (điều kiện t ≥ 0).

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

một phương trình bậc 2 ẩn t là:

at² + bt + c = 0 (2)

- Giải phương trình (2) để tìm t, so sánh với điều kiện.

- Thay giá trị t thỏa mãn vào (1) để tìm x.

Câu 6:

Cho phương trình: x² - x - 2 = 0.

a) Giải phương trình.

b) Vẽ hai đồ thị y = x² và y = x + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ.

c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Xem đáp án

a) x² – x – 2 = 0

Có a = 1; b = -1; c = -2 ⇒ a – b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x = -1 và x = -c/a = 2.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-1; 2}

b) + Đường thẳng y = x + 2 cắt trục Ox tại (-2; 0) và cắt Oy tại (0; 2).

+ Parabol y = x² đi qua các điểm (-2; 4); (-1; 1); (0; 0); (1; 1); (2; 4).

c) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

Phương trình (*) chính là phương trình đã giải ở ý (a) Do đó hai nghiệm ở câu (a) chính là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Câu 7:

Giải các phương trình:

a) 3x⁴ – 12x² + 9 = 0;

b) 2x⁴ + 3x² – 2 = 0;

c) x⁴ + 5x² + 1 = 0.

Xem đáp án

Cả ba phương trình trên đều là phương trình trùng phương.

a) 3x⁴ – 12x² + 9 = 0 (1)

Đặt x² = t, t ≥ 0.

(1) trở thành: 3t² – 12t + 9 = 0 (2)

Giải (2):

Có a = 3; b = -12; c = 9

⇒ a + b + c = 0

⇒ (2) có hai nghiệm t₁ = 1 và t₂ = 3.

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện.

+ t = 3 ⇒ x² = 3 ⇒ x = ±√3.

+ t = 1 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1.

Vậy phương trình có tập nghiệm

b) 2x⁴ + 3x² – 2 = 0 (1)

Đặt x² = t, t ≥ 0.

(1) trở thành: 2t² + 3t – 2 = 0 (2)

Giải (2) :

Có a = 2 ; b = 3 ; c = -2

⇒ Δ = 3² – 4.2.(-2) = 25 > 0

⇒ (2) có hai nghiệm

t₁ = -2 < 0 nên loại.

Vậy phương trình có tập nghiệm

c) x⁴ + 5x² + 1 = 0 (1)

Đặt x² = t, t > 0.

(1) trở thành: t² + 5t + 1 = 0 (2)

Giải (2):

Có a = 1; b = 5; c = 1

⇒ Δ = 5² – 4.1.1 = 21 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm:

Cả hai nghiệm đều < 0 nên không thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

Câu 8:

Giải các phương trình:

$a) 5 x^{2} - 3 x + 1 = 2 x + 11 b) \frac{x^{2}}{5} - \frac{2 x}{3} = \frac{x + 5}{6} c) \frac{x}{x - 2} = \frac{10 - 2 x}{x^{2} - 2 x} d) \frac{x + 0, 5}{3 x + 1} = \frac{7 x + 2}{9 x^{2} - 1} e) 2 \sqrt{3} x^{2} + x + 1 = \sqrt{3} (x + 1) f) x^{2} + 2 \sqrt{2} x + 4 = 3 (x + \sqrt{2})$

Xem đáp án

a) 5x² – 3x + 1 = 2x + 11

⇔ 5x² – 3x + 1 – 2x – 11 = 0

⇔ 5x² – 5x – 10 = 0

Có a = 5; b = -5; c = -10 ⇒ a - b + c = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm: x₁ = -1 và x₂ = -c/a = 2.

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-1; 2}.

⇔ 6x² – 20x = 5(x + 5)

⇔ 6x² – 20x – 5x – 25 = 0

⇔ 6x² – 25x – 25 = 0

Có a = 6; b = -25; c = -25

⇒ Δ = (-25)² – 4.6.(-25) = 1225 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm

Vậy phương trình có tập nghiệm

⇔ x² = 10 – 2x

⇔ x² + 2x – 10 = 0

Có a = 1; b = 2; c = -10 ⇒ Δ’ = 1² – 1.(-10) = 11 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có tập nghiệm

⇔ (x + 0,5).(3x – 1) = 7x + 2

⇔ 3x² + 1,5x – x – 0,5 = 7x + 2

⇔ 3x² – 6,5x – 2,5 = 0.

Vậy phương trình có tập nghiệm

⇒ Phương trình có hai nghiệm

Vậy phương trình có tập nghiệm

Phương trình có hai nghiệm:

Vậy phương trình có tập nghiệm

Câu 9:

Giải các phương trình:

a) 1,2x³ – x² – 0,2x = 0;

b) 5x³ – x² – 5x + 1 = 0.

Xem đáp án

a) 1,2x³ – x² – 0,2x = 0

⇔ 0,2x.(6x² – 5x – 1) = 0

Giải (1): 6x² – 5x – 1 = 0

có a = 6; b = -5; c = -1

⇒ a + b + c = 0

⇒ (1) có hai nghiệm x₁ = 1 và x₂ = c/a = -1/6.

Vậy phương trình ban đầu có tập nghiệm

b) 5x³ – x² – 5x + 1 = 0

⇔ x²(5x – 1) – (5x – 1) = 0

⇔ (x² – 1)(5x – 1) = 0

⇔ (x – 1)(x + 1)(5x – 1) = 0

Vậy phương trình có tập nghiệm

Câu 10:

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

$a) 2 {(x^{2} - 2 x)}^{2} + 3 (x^{2} - 2 x) + 1 = 0 b) {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 4 . (x + \frac{1}{x}) + 3 = 0$

Xem đáp án

a) 2(x² – 2x)² + 3(x² – 2x) + 1 = 0 (1)

Đặt x² – 2x = t,

(1) trở thành : 2t² + 3t + 1 = 0 (2).

Giải (2) :

Có a = 2 ; b = 3 ; c = 1

⇒ a – b + c = 0

⇒ (2) có nghiệm t₁ = -1; t₂ = -c/a = -1/2.

+ Với t = -1 ⇒ x² – 2x = -1 ⇔ x² – 2x + 1 = 0

⇔ (x – 1)² = 0 ⇔ x = 1.

(1) trở thành: t² – 4t + 3 = 0 (2)

Giải (2):

Có a = 1; b = -4; c = 3

⇒ a + b + c = 0

⇒ (2) có nghiệm t₁ = 1; t₂ = c/a = 3.

+ t = 1 ⇒ x + 1/x = 1 ⇔ x² + 1 = x ⇔ x² – x + 1 = 0

Có a = 1; b = -1; c = 1 ⇒ Δ = (-1)² – 4.1.1 = -3 < 0

Phương trình vô nghiệm.

Câu 11:

Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia:

$a) 12 x^{2} - 8 x + 1 = 0; x_{1} = \frac{1}{2} b) 2 x^{2} - 7 x - 39 = 0; x_{1} = - 3 c) x^{2} + x - 2 + \sqrt{2} = 0; x_{1} = - \sqrt{2} d) x^{2} - 2 mx + m - 1 = 0; x_{1} = 2$

Xem đáp án

Theo định lý Vi-et ta có: phương trình ax² + bx + c = 0

có hai nghiệm x₁; x₂ thì:

Ta sử dụng một trong hai biểu thức trên để tìm nghiệm còn lại.

Ở bài giải dưới đây ta sẽ sử dụng điều kiện:

(Các bạn có thể làm cách 2 sử dụng điều kiện ).

d) x² - 2mx + m - 1 = 0 (1)

Vì x₁ = 2 là một nghiệm của pt (1) nên:

2² - 2m.2 + m - 1 = 0

⇔ 4- 4 m+ m – 1 = 0

⇔ 3- 3m = 0

⇔ m = 1

Khi m = 1 ta có: x₁.x₂ = m - 1 (hệ thức Vi-ét)

⇔ 2.x₂ = 0 (vì x₁ = 2 và m = 1)

⇔ x₂ = 0

Câu 12:

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 12, uv = 28 và u > v

b) u + v = 3, uv = 6

Xem đáp án

a) S = 12, P = 28 ⇒ S² – 4P = 32 > 0

⇒ u, v là hai nghiệm của phương trình: x² – 12x + 28 = 0.

Có a = 1; b = -12; c = 28 ⇒ Δ’ = (-6)² – 28 = 8 > 0

Phương trình có hai nghiệm x₁ = 6 + 2√2; x₂ = 6 - 2√2

Vì u > v nên u = 6 + 2√2 và v = 6 - 2√2

b) S = 3; P = 6 ⇒ S² – 4P = -15 < 0

Vậy không tồn tại u, v thỏa mãn yêu cầu.

Câu 13:

Cho phương trình 7x² + 2(m – 1)x - m² = 0.

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m.

Xem đáp án

a) Ta có: a = 7, b= 2(m-1), c = - m²

Suy ra: Δ' = (m - 1)² + 7m²

Do (m-1)² ≥ 0 mọi m và m² ≥ 0 mọi m

=> ∆’≥ 0 với mọi giá trị của m.

Do đó phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁; x₂.

Theo định lý Vi-et ta có:

Khi đó:

Câu 14:

Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2 000 000 người lên 2 020 050 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?

Xem đáp án

Gọi tỉ số tăng dân số trung bình mỗi năm là x (x > 0).

Dân số thành phố sau 1 năm là:

2 + 2.x = 2.(1 + x) (triệu người)

Dân số thành phố sau 2 năm là:

2.(1 + x) + 2.(1 + x).x = 2.(1 + x)² (triệu người).

Theo bài ra ta có phương trình:

2.(1 + x)² = 2,020050

⇔ (1 + x)² = 1,010025

⇔ x + 1 = 1,005

⇔ x = 0,005 = 0,5%.

Vậy tỉ số tăng dân số trung bình một năm của thành phố là 0,5%.

Câu 15:

Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?

Xem đáp án

Gọi số mà đề bài đã cho là x, x nguyên dương, x > 2.

Bạn Quân đã chọn số x – 2 để nhân với x.

Vậy kết quả đúng phải là 168.

Câu 16:

Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường.Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km.

Xem đáp án

Gọi vận tốc của xe lửa thứ nhất là: x (km/h) (x > 0)

⇒ vận tốc xe lửa thứ hai là: x + 5 (km/h)

Do hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đường, với quãng đường từ Hà Nội đến Bình Sơn dài 900 km nên quãng đường mỗi xe đi được kể từ khi bắt đầu đến khi hai xe gặp nhau là 900: 2= 450 ( km)

Vậy:

Vận tốc của xe lửa thứ nhất là 45 km/h.

Vận tốc của xe lửa thứ hai là 50 km/h.

Câu 17:

Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC (h.17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm².