Chuyên đề 7: Phương trình (có đáp án)
-
2974 lượt thi
-
117 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 3:
Cho phương trình bậc hai ẩn (m là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi tham số m.
a) Ta có với mọi giá trị của m.
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi tham số m.
Câu 4:
b) Tìm m để hai nghiệm x1; x2 của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện |x1-x2|=17.
b) Vì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi tham số m nên theo định lí Vi-et:
Ta có:
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5:
Giải phương trình:
Cách 1: Do nên phương trình đã cho có hai nghiệm
Cách 2:
Phương trình đã cho có hai nghiệm
Câu 6:
Giải phương trình:
Điều kiện
Phương trình
Đặt:
Phương trình trở thành
Với ta được
Với ta được (vô nghiệm).
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm:
Câu 7:
Cho phương trình với x là ẩn số, m là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi .Phương trình (1) với xlà ẩn, m là tham số.
a) Khi , phương trình trên trở thành .
Câu 8:
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì
. Bất đẳng thức sau cùng luôn đúng với mọi giá trị của m. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Để có nghĩa thì x1 và x2 phải dương .
Khi đó theo định lý Vi-et ta có ( với x1 và x2 là hai nghiệm của (1)).
Do đó
.
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi
Câu 9:
Cho phương trình .
a) Giải phương trình với m=-1.
a) Thay m=-1 vào phương trình (1) ta được:
Vì nên phương trình có hai nghiệm x1 =1và .
Câu 10:
b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Giả sử hai nghiệm là x1, x2 (x1<x2), khi đó tìm m để .
b) , với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
Theo định lí Vi – ét: và , với mọi .
Theo đề: và suy ra:
.
Vậy m=-1, m=3 là giá trị cần tìm.
Câu 11:
Cho phương trình . Gọi là hai nghiệm phân biệt của phương trình.
Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
Phương trình: . Ta thấy a,c trái dấu nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Theo định lí Vi-ét ta có:
Câu 12:
Cho phương trình với m là tham số.
1) Giải phương trình (1) khi m=2
1) Với m=2 PT trở thành
Giải phương trình tìm được các nghiệm x=1 ;x=3
Câu 13:
2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Gọi là hai nghiệm của phương trình (1) lập phương trình bậc hai nhận và là nghiệm.
2) Ta có
Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Từ giả thiết ta có
Áp dụng định lí Viét cho phương trình (1) ta có ;
Ta có
Vậy phương trình bậc hai nhận
là nghiệm là
Câu 14:
Giải phương trình
Dễ thấy x=0 không là nghiệm của phương trình nên
Đặt ta được
Với
Với
Câu 15:
Cho phương trình: (1) (m là tham số)
a) Giải phương trình (1) với m=2.
a) Thay m=2 vào ta có phương trình:
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
Câu 16:
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Phương trình: có:
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Câu 17:
c) Tìm m để phương trình (1) luôn có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
c) Với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:
Yêu cầu bài toán tương đương:
Vậy với m=1 thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.
Câu 18:
Cho phương trình (1) ( với m là tham số).
a. Giải phương trình (1) khi m=1.
Cho phương trình (1) ( với m là tham số).
a. Khi m=1 thì phương trình (1) trở thành:
Vì nên phương trình có hai nghiệm: , .
Câu 19:
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện .
b. (1) ( với m là tham số).
Ta có:
· Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
hay
· Khi m<0 hay thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo hệ thức vi-et ta có:
· Theo yêu cầu bài toán: (4)
Kết hợp (2) với (4) ta được hệ phương trình:
Thay , vào (3) ta được phương trình:
( loại) hay m=1(nhận)
Vậy m=1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu .
Câu 20:
Cho phương trình
a) Giải phương trình khi m=0.
a) Khi m=0 phương trình trở thành:
Câu 21:
b) Với a=1, b=-2m, b'=-m, c=-6m-9.
Phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m.
Theo hệ thức Viet ta có:
Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Ta có :
(loại) hoặc (nhận).
Vậy .
Câu 22:
Cho phương trình: , với m là tham số.
a. Giải phương trình (1) khi m=2
a. Với m=2 thay vào phương trình (1) ta được:
Vậy với m=2 thì phương trình (1) có nghiệm là x=1
Câu 23:
b. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
b.Phương trình (1) có hai nghiệm
Theo Vi – et ta có:
Theo đề bài ta có: Do nên , Suy ra
Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng khi .
Câu 25:
Cho phương trình: (1), với mlà tham số.
a. Giải phương trình (1) khi m=0.
Cho phương trình: (1), với m là tham số
a. Giải phương trình (1) khi m=0.
Khi m=0, ta có phương trình:
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là x=2.
Câu 26:
b) Giải phương trình (1) khi m=1.
Giải phương trình (1) khi m=1.
Khi m=1, ta có phương trình:
Ta thấy: a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
; .
Câu 29:
Giải các phương trình sau trên tập số thực:
a)
a) Giải phương trình
Vì nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là .
Câu 30:
b)
Đặt .
Khi đó phương trình (1) trở thành:
Vì nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:
(thoả mãn)
(không thoả mãn)
Với t=9 ta có:
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S={-2;4}.
Câu 31:
Cho phương trình (m là tham số). Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt sao cho tích của hai nghiệm này bằng -30. Khi đó, tính tổng hai nghiệm của phương trình.
Vì nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1).
Theo hệ thức Viet ta có:
Theo đề bài ta có:
Với m=-3 ta có:
Vậy tổng hai nghiệm của phương trình là 1.
Câu 35:
Tìm m để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Phương trình có 2 nghiệm x1, x2 .
(luôn đúng với mọi ).
Theo hệ thức Vi-et ta có: .
Theo giả thiết, giả sử: .
Từ (1) và (3) ta có: .
Thay (4) vào (2) ta được:
Câu 36:
Cho phương trình , với x là ẩn số.
a) Giải phương trình (1) khi m=2.
a) Khi m=2, phương trình trở thành:
Vậy khi m=2 thì phương trình có một nghiệm x=3.
Câu 37:
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn đẳng thức sau:
.
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Với m>2, phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo định lý viet:
Ta có
Vì m>2 nên m=4.
Câu 38:
Giải phương trình
Đặt ; điều kiện
(*) ;
phương trình có nghiệm kép:
Vậy phương trình có tập nghiệm là
Câu 39:
Cho phương trình (có ẩn số x).
a/ Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm với mọi m
PT đã cho: (có ẩn số x).
a/ với mọi m vậy PT đã cho luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m.
Câu 42:
Giải phương trình: .
Đặt thì phương trình đã cho trở thành:
Phương trình bậc hai có nên có nghiệm
t=-1 (loại) hoặc t=3.
với
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm:
Câu 43:
Xét phương trình có
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
Khi là hai nghiệm của phương trình đã cho, theo hệ thức Vi-et ta có:
Khi đó:
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi m = 1 (thỏa điều kiện )
Vậy giá trị m cần tìm là 1
Câu 44:
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn
(1) là phương trình bậc hai có
(1) có hai nghiệm x1, x2 (*)
Khi đó theo hệ thức Viet ta có (2)
Biến đổi .
Kết hợp với (2) ta được
.
Kết hợp với (*) ta được m=-1 thỏa mãn.
Đ/s: m=-1.
Câu 46:
Cho phương trình (m là tham số). Tìm giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn
Phương trình có hai nghiệm khi: (1) .
Theo hệ thức Vi-ét ta có : (2).
Ta có : (3).
Thay (2) vào (3) ta có
hoặc m=-7.
Đối chiếu điều kiện (1) ta được m=1.
Câu 48:
Tìm m để phương trình: x2 +5x+3m-1=0 (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn .
.
Phương trình có nghiệm .
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
Cách 1:
(1), thay vào hệ thức ta được:
.
.
Giải phương trình được x=-1 .
Thay x1 và x2 vào (2), tìm được (thỏa mãn điều kiện).
Vậy là giá trị cần tìm.
Cách 2:
(do ).
Ta có hệ phương trình: .
Từ đó tìm được m.
Câu 50:
b. Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
b. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Theo hệ thức Vi – ét ta có:
Suy ra
Vì mọi m
Nên mọi m
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 15
Dấu “=” xảy ra .
Câu 51:
2.Cho phương trình: (1) (m là tham số).
a. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
a.
Vì với mọi m nên với mọi m
Câu 53:
b)
b)
Đặt , phương trình trở thành
Giải phương trình ta được t=1 (nhận); t=-10 (loại)
Khi t=1, ta có .
Câu 54:
Cho phương trình (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn .
Phương trình có .
.
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Khi đó, theo Vi-ét ;
. (2)
Theo đề bài ta có (3)
Từ (1) và (3) suy ra thay vào (2) ta được
Câu 55:
Cho phương trình: (1) (với x là ẩn số, m là tham số).
a) Giải phương trình (1) với m=4;
Với m=4 phương trình (1) có dạng: .
Ta có: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:.
Vậy khi m=4 thì phương trình (1) có hai nghiệm .
Câu 56:
b) Xác định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn điều kiện:
Tính .
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì .
Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có:.
Theo đầu bài ta có:
Vậy thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .
Câu 59:
Giải phương trình: .
Đặt , điều kiện
Phương trình trở thành:
Vậy
Kết luận: tập nghiệm của phương trình là
Câu 62:
Không sử dụng máy tính, hãy tìm nghiệm của phương trình
Vậy nghiệm dương của phương trình là x=2
Câu 66:
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x1=2x2.
b) Theo định lý Vi-ét:
Ta có: thế vào (1) thế vào (2)
Câu 67:
Xác định phương trình với ; b, c là các số và b+c=5. Biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn .
Theo định lý Vi-et ta có:
Từ (1) và (2) thay vào b+c=5 ta được:
Suy ra .
Vậy phương trình đã cho có dạng:
Câu 68:
Giải phương trình:
a)
Ta có phương trình tương đương:
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Câu 69:
b)
Đặt , điều kiện
Phương trình đã cho trở thành
Do nên ta chọn t=4. Khi đó, ta có
Vây, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Câu 71:
Cho phương trình là tham số. Tìm giá trị của m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt thỏa mãn
- Phương trình: có , Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
- Ta có: (thỏa mãn) hoặc m=-1 (thỏa mãn). Vậy 2 giá trị cần tìm của m là m=1 hoặc m=-1
Câu 74:
Cho phương trình: (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị tham số m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Phương trình: (m là tham số) (1)
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
Theo đề ra ta có:
Áp dụng hệ thức vi et ta có:
Vậy với m=-1 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn .
Câu 75:
Cho phương trình (m là tham số).
1) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Câu 76:
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm các giá trị của m sao cho .
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
Cách 1:
Ta có hệ: (thỏa mãn điều kiện)
Cách 2:
.
Do đó:
Câu 78:
Giải phương trình:
Ta có .
Phương trình đã cho tương đương với .
Từ (*) và (1) suy ra 0<x<1.
Do đó (vì 0<x<1).
(vì 3x>0 và ).
.
Vậy phương trình có tập nghiệm S={} .
Câu 79:
Cho phương trình: (1) (x là ẩn số, m là tham số).
a) Giải phương trình (1) khi m=2.
a) Thay m=2 vào phương trình (1) ta được phương trình:
Ta có: 1-8+7=0
Phương trình (*) có hai nghiệm x1=-1, x2=-7.
Câu 80:
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1), tìm m để
b) Ta có: .
với
Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với .
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
.
Vậy m=-3 hoặc m=1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn: .
Câu 81:
Giải các bất phương trình và các phương trình sau:
a) 4x-5>7
a) .
Vậy nghiệm của bất phương trình : x>3.
Câu 85:
Cho phương trình: (m là tham số).
a) Giải phương trình với m=0
a) Với m=0 ta có phương trình:
Vậy phương trình có 2 nghiệm
Câu 86:
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn điều kiện:
b) Ta có
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi .
Theo định lý Vi-ét ta có:
Điều kiện
Vậy .
Câu 90:
Cho phương trình bậc hai (m là tham số)
Cho phương trình bậc hai (m là tham số).
a) Pt có nghiệm
Với m=-6, pt đã cho thành:
Vậy với m=-6 , pt có nghiệm x=-1 và nghiệm còn lại là x=3
Câu 91:
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức:
Đk pt có hai nghiệm phân biệt
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
Ta có (thỏa *)
Vậy m=-3Đk pt có hai nghiệm phân biệt
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
Ta có (thỏa *)
Vậy m=-3
Câu 93:
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
.
Phương trình có hai nghiệm
Với phương trình có hai nghiệm theo Vi_ét ta có:
Vì x1 là nghiệm của phương trình nên ta có:
Thay vào hệ thức ta có:
Câu 94:
a) Giải phương trình (1)
Đặt
Câu 95:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi .
Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác 0 là: và (1)Câu 96:
Giải các phương trình sau:
a) (a)
Vì phương trình (a) có nên phương trình (a) có 2 nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình .
Câu 97:
b)
(b)
Đặt , phương trình thành : (*)
Có
phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
hay (loại)
Vậy tập nghiệm của phương trình .
Cách khác : (b)
Câu 98:
(c)
Vì phương trình (c) có nên phương trình (c) có hai nghiệm
Vậy tập nghiệm của phương trình .
Câu 99:
Giải các phương trình sau:
a)
a)
Ta có:
Phương trình (a) có hai nghiệm phân biệt:
Vậy tập nghiệm của phương trình S={2;3}
Câu 100:
b) (b)
Ta có :
Phương trình (b) có hai nghiệm phân biệt :
Vậy tập nghiệm của phương trình .
Câu 101:
c)
c) Đặt phương trình trở thành:
Vậy tập nghiệm của phương trình .
Cách khác :
Phương trình:
Câu 102:
Giải phương trình:
Ta có: a=1; b=-5; c=-14
Biệt thức :
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt ,
Câu 103:
Giải các phương trình sau:
a)
a)
Ta có :
Phương trình có hai nghiệm phân biệt :
;
Câu 104:
b)
b)
Đặt ()
Ta có phương trình :
Phương trình trên có : nên phương trình có hai nghiệm :
(loại) (nhận)
Câu 105:
Giải các phương trình:
a)
a)
Ta thấy a+b+c=0 nên phương trình có nghiệm là x=1 và
Câu 107:
Cho phương trình (x là ẩn số) (1)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
Câu 108:
b) Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: ;
với mọi m
khi
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 6 khi .
Câu 109:
Cho phương trình (*) (x là ẩn số)
a) Định m để phương trình (*) có nghiệm
a) Phương trình (*) có nghiệm
Câu 111:
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn .
Phương trình
Điều kiện:
Khi đó theo Vi-ét tá có và .
Vậy với m=8 thì thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 112:
Cho phương trình
a) Chứng tỏ phương trình luôn luôn có nghiệm x1, x2 với mọi m.
a) Ta có : với mọi m
Câu 113:
b) Theo định lý Vi-et ta có:
(thỏa mãn)
Vậy là giá trị cần tìm.
Câu 114:
Cho phương trình: (ẩn x)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
a) Ta có:
Để phương trình có nghiệm thì
Câu 115:
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho
b) Theo định lí Vi-ét ta có :
có :
Vậy là giá trị cần tìm.
Câu 116:
Cho phương trình: (x là ẩn số, m là tham số)
a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m
a)
Ta có: , với mọi só thực m
Vậy phương trình trên luôn có nghiệm với mọi số thực m
Câu 117:
b) Tìm m để (với là các nghiệm của phương trình trên).
b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: thế vào biểu thức: ta được:
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán