22 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập Góc nội tiếp có đáp án

Câu 1:

Muốn xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng ê ke thì phải làm như thế nào?

Xem đáp án

Để xác định tâm của một đường tròn mà chỉ dùng ê ke, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Kẻ đường thẳng cắt đường tròn tại A và B.

Bước 2: Qua B, dùng ê ke kẻ đường thẳng vuông góc với AB ở B và cắt đường tròn tại C.

Bước 3: Nối C với A.

Bước 4: Qua A, dùng ê ke kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại A và cắt đường tròn tại D.

Bước 5: Nối B với D. Giao điểm của AC và BD là tâm đường tròn.

Câu 2:

Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4 cm và một cạnh góc vuông dài 2,5 cm.

Xem đáp án

Giả sử dựng được tam giác ABC vuông có cạnh huyền BC = 4 cm, cạnh góc vuông AB = 2,5 cm.

Gọi O là trung điểm của BC. Ta có: OB = OC = OA = 2 cm.

Vậy tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC có cạnh AB = 2,5 cm.

Cách dựng: Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Dựng đường tròn bán kính r = 2 cm.

Bước 2: Qua O kẻ đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm B cà C

Bước 3: Dựng đường tròn tâm B, bán kính 2,5 cm và cắt đường tròn (O) tại $A_{1}, A_{2}$ .

Vậy ${∆A}_{1} {BC, ∆A}_{2} BC$ thỏa mãn đề bài.

Câu 3:

Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC, BA theo thứ tự tại D, E, F. Cho biết $\hat{BAC} = \hat{EDF}$ . Tính số đo của góc $\hat{BAC}$ .

Xem đáp án

Câu 4:

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.

Xem đáp án

Ta có $\hat{AMB}, \hat{ANB}$ là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên: $\hat{AMB} = \hat{ANB} = 90^{0}$

Do đó, $BM ⊥ AS, AN ⊥ SB$ $\Rightarrow H$ là trực tâm của tam giác SAB.

Vậy ta được $AH ⊥ AB$ .

Câu 5:

Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D. Gọi K là giao điểm của EB với đường tròn (O) và H là giao điểm của BD và AK.

a) $∆$ ABE là tam giác gì?

b) Chứng minh rằng EH vuông góc với AB.

c) Chứng minh rằng OD vuông góc với AK.

Xem đáp án

Câu 6:

Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: ${MA}^{2} = MB . MC$

Xem đáp án

Ta có $CA ⊥ AB$ (tính chất của hai tiếp tuyến)

Suy ra $∆ ABC$ vuông tại A.

Mặt khác, $\hat{AMB} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên AM là đường cao của tam giác ABC.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có ${MA}^{2} = MB . MC$ .

Câu 7:

Cho $∆ ABC$ có ba góc nhọn. Đường tròn (O) có đường kính BC cắt AB, AC tại D, E. Gọi I là giao điểm của BS và CD.

a) Chứng minh rằng $AI ⊥ BC$

b) Chứng minh rằng $\hat{IAE} = \hat{IDE}$

c) Cho $\hat{BAC} = 60^{0}$ , chứng minh $∆ DOE$ là tam giác đều.

Xem đáp án

Câu 8:

Cho AB, BC, CA là ba dãy của đường tròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh rằng SM = SC và SN = SA.

Xem đáp án

Câu 9:

Cho đường tròn (O) và (O’) bằng nhau, cắt nhau tại A và B. Qua B vẽ một cát tuyến cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh AC = AD.

b) Tìm quỹ tích trung điểm M của CD khi cát tuyến CBD quay quanh B.

Xem đáp án

a) Từ giả thiết “hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau”, nên hai cung nhỏ AB của chúng bằng nhau, do đó:

b) Ta lần lượt thực hiện:

Phân thuận: với M là trung điểm của CD, suy ra $AM ⊥ CD$ , vì $∆ ACD$ cân tại A

Vậy điểm M thuộc đường tròn đường kính AB

Phần đảo: Lấy điểm $M \in (AB)$ và giả sử đường thẳng BM cắt (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D, ta cần chứng minh M là trung điểm CD.

Thật vậy, trong $∆ ACD$ cân tại A, ta có: $\hat{AMB} = 90^{0}$ . Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn , vì tam giác cân đường cao là trung tuyến

Kết luận: quỹ tích các điểm M là đường tròn đường kính AB.

Câu 10:

Cho một đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát tuyến cắt đường tròn ở A và B. Chứng minh rằng tích MA.MB không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến.

Xem đáp án

Câu 11:

Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB và C là một điểm bên ngoài đường tròn. Nối CA, CB gặp đường tròn theo thứ tự ở M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN.

a) Chứng minh rằng $AH ⊥ AB$

b) Cho $\hat{ACB} = 60^{0}$ , chứng minh $∆ OMN$ là tam giác đều.

Xem đáp án

Câu 12:

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) tại M và (O’) tại N (A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì: Tại sao?

Xem đáp án

Hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau nên AOBO’ là hình thoi.

Do đó $\hat{AOB} = \hat{AO' B}$ . Theo tính chất của góc nội tiếp, ta có:

Vậy ta được $∆ BMN$ là tam giác cân tại B.

Câu 13:

Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và B. Từ A vẽ đường kính AOC và AO’D

a) Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng và AB vuông góc với CD.

b) Biết R $\geq r$ và CD = a, hãy tính BC và BD.

Xem đáp án

Câu 14:

Cho tam giác ABC. Hai đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại một điểm thứ hai là D.

a) Chứng minh rằng ba điểm B, D, C thẳng hàng.

b) Đường thẳng AC cắt đường tròn đường kính AB tại E, đường thẳng AB cắt đường tròn đường kính AC tại F. Chứng minh rằng ba đường thẳng AD, BE, CF cùng đi qua một điểm.

Xem đáp án

Câu 15:

Cho đường tròn (O) và hai dây AB, CD bằng nhau cắt nhau tại M (điểm C nằm trên cung nhỏ AB, điểm B nằm trên cung nhỏ CD)

a) Chứng minh AC = DB

b) Chứng minh $∆ MAC = ∆ MDB$

c) Tứ giác ACBD là hình gì? Chứng minh.

Xem đáp án

Câu 16:

Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi O là điểm chính giữa của nửa đường tròn và M là một điểm bất kì của nửa đường tròn đó. Tia AM cắt đường tròn (O; OA) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng MN = MB.

Xem đáp án

Từ giả thiết ta có ngay $\hat{AOB} = 90^{0}$ , $\hat{AMB} = 90^{0}$ vì chúng đều là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB.

Mặt khác, ta cũng có OA = OB => B $\in (O; OA)$

Do đó, $\hat{ANB} = \hat{AOB} = 45^{0}$

Khi đó, $∆ BMN$ vuông tại M có $\hat{MNB} = 45^{0}$ nên nó là tam giác vuông cân, suy ra MN = NB

Câu 17:

Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I và K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Gọi P là giao điểm của AK và BI

a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp của $∆ MAB$

c) Giả sử MA = 12 cm, MB = 16 cm, tính bán kính của đường tròn nội tiếp $∆ MAB$

Xem đáp án

Vậy bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác MAB bằng 4 cm.

Câu 18:

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C chạy trên một nửa đường tròn. Vẽ một đường tròn (I) tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D, đường tròn này cắt CA và CB tại các điểm thứ hai là M và N. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng

b) $ID ⊥ MN$

c) Đường thẳng CD đi qua điểm cố định

d) Nêu cách dựng đường tròn (I) nói trên.

Xem đáp án