32 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Ôn tập chương 2 - Phần Đại số

Câu 1:

$(\frac{9}{x^{3} - 9 x} + \frac{1}{x + 3}) : (\frac{x - 3}{x^{2} + 3 x} - \frac{x}{3 x + 9})$

Xem đáp án

Câu 2:

$(\frac{2}{x - 2} - \frac{2}{x + 1}) . \frac{x^{2} + 4 x + 4}{8}$

Xem đáp án

Câu 3:

$(\frac{3 x}{1 - 3 x} + \frac{2 x}{3 x + 1}) : \frac{6 x^{2} + 10 x}{1 - 6 x + 9 x^{2}}$

Xem đáp án

Câu 4:

$(\frac{x}{x^{2} - 25} - \frac{x - 5}{x^{2} + 5 x}) : \frac{2 x - 5}{x^{2} + 5 x} + \frac{x}{5 - x}$

Xem đáp án

Câu 5:

$(\frac{x^{2} + x y}{x^{3} + x^{2} y + x y^{2} + y^{3}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}}) : (\frac{1}{x - y} - \frac{2 x y}{x^{3} - x^{2} y + x y^{2} - y^{3}})$

Xem đáp án

Câu 6:

Chứng minh đẳng thức:

$(\frac{x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 8} - \frac{2 x^{2}}{8 - 4 x + 2 x^{2} - x^{3}}) . (1 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}) = \frac{x + 1}{2 x}$

Xem đáp án

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Câu 7:

Chứng minh đẳng thức: $[\frac{2}{3 x} - \frac{2}{x + 1} (\frac{x + 1}{3 x} - x - 1)] : \frac{(x - 1)}{x} = \frac{2 x}{x - 1}$

Xem đáp án

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Câu 8:

Chứng minh đẳng thức:

$[\frac{2}{{(x + 1)}^{3}} . (\frac{1}{x} + 1) + \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} (\frac{1}{x^{2}} + 1)] : \frac{x - 1}{x^{3}} = \frac{x}{x - 1}$

Xem đáp án

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Câu 9:

Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức:

$\frac{\frac{x}{x - 1} - \frac{x + 1}{x}}{\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x}}$

Xem đáp án

Câu 10:

Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức:

$\frac{\frac{5}{4} - \frac{5}{x + 1}}{\frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}}$

Xem đáp án

Câu 11:

Một phân thức có giá trị bằng 0 khi giá trị của tử thức bằng 0 còn giá trị của mẫu thức khác 0.Ví dụ giá trị của phân thức $\frac{x^{2} - 25}{x + 1} = 0$ khi $x^{2} - 25 = 0$ và x + 1 $\neq$ 0 hay (x - 5)(x + 5) = 0 và x $\neq$ -1. Vậy giá trị của phân thức này bằng 0 khi x = $\pm$ 5. Tìm các giá trị của của x để giá trị mỗi phân thức sau có giá trị bằng 0?

$\frac{98 x^{2} - 2}{x - 2}$

Xem đáp án

Phân thức = 0 khi $98 x^{2} + 2 = 0$ và x – 2 $\neq$ 0

Ta có: x – 2 $\neq$ 0 ⇔ x $\neq$ 2

$98 x^{2} + 2 = 0$ ⇔ $2 (49 x^{2} - 1) = 0$ ⇔ (7x + 1)(7x – 1) = 0

Ta có: thỏa mãn điều kiện x $\neq$ 2

Vậy thì phân thức có giá trị bằng 0.

Câu 12:

Một phân thức có giá trị bằng 0 khi giá trị của tử thức bằng 0 còn giá trị của mẫu thức khác 0.Ví dụ giá trị của phân thức $\frac{x^{2} - 25}{x + 1} = 0$ khi $x^{2} - 25 = 0$ và x + 1 $\neq$ 0 hay (x - 5)(x + 5) = 0 và x $\neq$ -1. Vậy giá trị của phân thức này bằng 0 khi x = $\pm$ 5. Tìm các giá trị của của x để giá trị mỗi phân thức sau có giá trị bằng 0?

$\frac{3 x - 2}{x^{2} + 2 x + 1}$

Xem đáp án

Phân thức khi 3x – 2 = 0 và ${(x + 1)}^{2} \neq 0$

Ta có: ${(x + 1)}^{2} \neq 0$ ⇔ $x + 1 \neq 0$ ⇔ $x \neq - 1$

3x – 2 = 0 ⇔

Ta có: thỏa mãn điều kiện x $\neq$ - 1

Vậy thì phân thức có giá trị bằng 0.

Câu 13:

Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định: $\frac{2 x - 3}{\frac{x - 1}{x + 2}}$

Xem đáp án

Biểu thức $\frac{2 x - 3}{\frac{x - 1}{x + 2}}$ xác định khi:

x – 1 $\neq$ 0 và x + 2 $\neq$ 0 ⇔ x $\neq$ 1và x $\neq$ - 2

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là x $\neq$ 1 và x $\neq$ - 2.

Câu 14:

Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định: $\frac{\frac{2 x^{2} + 1}{x}}{x - 1}$

Xem đáp án

Biểu thức $\frac{\frac{2 x^{2} + 1}{x}}{x - 1}$ xác định khi: x $\neq$ 0 và x – 1 $\neq$ 0 ⇔ x $\neq$ 0 và x $\neq$ 1

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là x $\neq$ 0 và x $\neq$ 1.

Câu 15:

Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định: $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} - 10 x + 25}{x}}$

Xem đáp án

Biểu thức $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} - 10 x + 25}{x}}$ xác định khi $x^{2} - 10 x + 25$ $\neq$ 0 và x $\neq$ 0

$x^{2} - 10 x + 25$ $\neq$ 0 ⇔ ${(x - 5)}^{2}$ $\neq$ 0 ⇔ x $\neq$ 5

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là x $\neq$ 0 và x $\neq$ 5

Câu 16:

Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định: $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5}}$

Xem đáp án

Biểu thức $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5}}$ xác định khi $x^{2} + 10 x + 25$ $\neq$ 0 và x - 5 $\neq$ 0

$x^{2} + 10 x + 25$ $\neq$ 0 ⇔ ${(x + 5)}^{2}$ $\neq$ 0 ⇔ x $\neq$ - 5

x – 5 $\neq$ 0 ⇔ x $\neq$ 5

Vậy điều kiện để biểu thức xác định là x $\neq$ 5 và x $\neq$ - 5.

Câu 17:

Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0.

$\frac{2 x - 3}{\frac{x - 1}{x + 2}}$

Xem đáp án

Biểu thức $\frac{2 x - 3}{\frac{x - 1}{x + 2}}$ xác định khi x $\neq$ 1 và x $\neq$ - 2

Ta có: khi (2x – 3)(x + 2) = 0 và x – 1 $\neq$ 0

(2x – 3)(x + 2) = 0 ⇔

x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1

x = - 2 không thỏa mãn điều kiện

Vậy x = 1,5 thì biểu thức $\frac{2 x - 3}{\frac{x - 1}{x + 2}}$ có giá trị bằng 0.

Câu 18:

Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0.

$\frac{\frac{2 x^{2} + 1}{x}}{x - 1}$

Xem đáp án

Biểu thức $\frac{\frac{2 x^{2} + 1}{x}}{x - 1}$ xác định khi x $\neq$ 0 và x $\neq$ 1

Ta có: khi $2 x^{2} + 1$ = 0 và x(x – 1) $\neq$ 0

Ta có: $2 x^{2} \geq 0$ nên $2 x^{2} + 1$ $\neq$ 0 mọi x.

Không có giá trị nào của x để biểu thức có giá trị bằng 0.

Câu 19:

Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0.

$\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} - 10 x + 25}{x}}$

Xem đáp án

Biểu thức $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} - 10 x + 25}{x}}$ xác định khi x 0 và x $\neq$ 5.

Ta có: khi x(x + 5) = 0 và x – 5 $\neq$ 0

x(x + 5) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x + 5 = 0 ⇔ x = - 5

x = 0 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy x = - 5 thì biểu thức $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} - 10 x + 25}{x}}$ có giá trị bằng 0.

Câu 20:

Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức trong bài tập 62 bằng 0.

$\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5}}$

Xem đáp án

Biểu thức $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5}}$ xác định khi x $\neq$ 5 và x $\neq$ - 5

${(x - 5)}^{2}$ = 0 ⇔ x – 5 = 0 ⇔ x= 5

x = 5 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức $\frac{x^{2} - 25}{\frac{x^{2} + 10 x + 25}{x - 5}}$ có giá trị bằng 0.

Câu 21:

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến x: $\frac{x - \frac{1}{x}}{\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x} - \frac{2 x + 2}{x}}$

Xem đáp án

Vậy với điều kiện x $\neq$ 0 và x $\neq$ $\pm$ 1 thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến x.

Câu 22:

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến x: $\frac{\frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}}{\frac{2 x + 2}{x - 1} - \frac{4 x}{x^{2} - 1}}$

Xem đáp án

Ta cóxác định khi x + 1 $\neq$ 0 và x – 1 $\neq$ 0 ⇒ x $\neq$ $\pm$ 1

xác định khi x – 1 ≠ 0 và x2 – 1 $\neq$ 0 ⇒ x $\neq$ $\pm$ 1

Vậy điều kiện để biểu thức xác định x $\neq$ $\pm$ 1

Ta có

Vậy với x $\neq$ $\pm$ 1 thì biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.

Câu 23:

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến x: $\frac{1}{x - 1} - \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 1} . (\frac{x}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{1}{x^{2} - 1})$

Xem đáp án

Biểu thức xác định khi x – 1 $\neq$ 0, $x^{2} - 2 x + 1$ $\neq$ 0 và $x^{2} - 1 \neq 0$

x – 1 $\neq$ 0 ⇒ x $\neq$ 1

$x^{2} - 2 x + 1$ $\neq$ 0 ⇒ ${(x - 1)}^{2}$ $\neq$ 0 ⇒ x $\neq$ 1

$x^{2} - 1 \neq 0$ ⇒ (x – 1)(x + 1) $\neq$ 0 ⇒ x $\neq$ -1 và x $\neq$ 1

Vậy biểu thức xác định với x $\neq$ -1 và x $\neq$ 1

Ta có:

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến x.

Câu 24:

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến x: $(\frac{x}{x^{2} - 36} - \frac{x - 6}{x^{2} + 6 x}) : \frac{2 x - 6}{x^{2} + 6 x} + \frac{x}{6 - x}$

Xem đáp án

Biểu thức xác định khi $x^{2} - 36 \neq 0$ , $x^{2} + 6 x \neq 0$ , 6 – x $\neq$ 0 và 2x – 6 $\neq$ 0

$x^{2} - 36 \neq 0$ ⇒ (x – 6)(x + 6) $\neq$ 0 ⇒ x $\neq$ 6 và x $\neq$ -6

$x^{2} + 6 x \neq 0$ ⇒ x(x + 6) $\neq$ 0 ⇒ x $\neq$ 0 và x $\neq$ -6

6 – x $\neq$ 0 ⇒ x $\neq$ 6

2x – 6 $\neq$ 0 ⇒ x $\neq$ 3

Vậy x $\neq$ 0, x $\neq$ 3, x $\neq$ 6 và x $\neq$ -6 thì biểu thức xác định.

Ta có:

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào biến x.

Câu 25:

Chứng minh rằng: Giá trị của biểu thức ${(\frac{x + 1}{x})}^{2} : [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} (\frac{1}{x} + 1)]$ bằng 1 với mọi giá trị x $\neq$ 0 và x $\neq$ -1.

Xem đáp án

Biểu thức ${(\frac{x + 1}{x})}^{2}$ xác định khi x $\neq$ 0

Biểu thức $\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} (\frac{1}{x} + 1)$ xác định khi x $\neq$ 0 và x $\neq$ - 1

Với điều kiện x $\neq$ 0 và x $\neq$ - 1, ta có:

Vậy giá trị của biểu thức ${(\frac{x + 1}{x})}^{2} : [\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} + \frac{2}{x + 1} (\frac{1}{x} + 1)]$ bằng 1 với mọi giá trị x $\neq$ 0 và x $\neq$ -1.

Câu 26:

Chứng minh rằng: Giá trị của biểu thức $\frac{x}{x - 3} - \frac{x^{2} + 3 x}{2 x + 3} . (\frac{x + 3}{x^{2} - 3 x} - \frac{x}{x^{2} - 9})$ bằng 1 khi x $\neq$ 0, x $\neq$ 3, x $\neq$ - 3 và x $\neq$ - 3/2 .

Xem đáp án

Biểu thức $\frac{x}{x - 3} - \frac{x^{2} + 3 x}{2 x + 3} . (\frac{x + 3}{x^{2} - 3 x} - \frac{x}{x^{2} - 9})$ xác định khi x – 3 $\neq$ 0,2x + 3 $\neq$ 0, $x^{2} - 3 x$ $\neq$ 0 và $x^{2} - 9$ $\neq$ 0

Suy ra: x $\neq$ 3; x $\neq$ - 3/2 ; x $\neq$ 0; x $\neq$ 3 và x $\neq$ $\pm$ 3

Với điều kiện x $\neq$ 3; x $\neq$ - 3/2 ; x $\neq$ 0; x $\neq$ - 3, ta có:

Vậy giá trị của biểu thức $\frac{x}{x - 3} - \frac{x^{2} + 3 x}{2 x + 3} . (\frac{x + 3}{x^{2} - 3 x} - \frac{x}{x^{2} - 9})$ bằng 1 khi x $\neq$ 3; x $\neq$ - 3/2 ; x $\neq$ 0; x $\neq$ - 3

Câu 27:

Chú ý rằng nếu c > 0 thì ${(a + b)}^{2} + c$ và ${(a + b)}^{2} + c$ đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng:

Với mọi giá trị của x khác $\pm$ 1, biểu thức:

$\frac{x + 2}{x - 1} (\frac{x^{3}}{2 x + 2} + 1) - \frac{8 x + 7}{2 x^{2} - 2}$ luôn luôn có giá trị dương.

Xem đáp án

Điều kiện x $\neq$ 1 và x $\neq$ - 1

Ta có:

Biểu thức dương khi $x^{2} + 2 x + 3$ > 0

Ta có: $x^{2} + 2 x + 3$ = $x^{2} + 2 x + 1 + 2$ = ${(x + 1)}^{2} + 2$ > 0 với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị x $\neq$ 1 và x $\neq$ - 1

Câu 28:

Chú ý rằng nếu c > 0 thì ${(a + b)}^{2} + c$ và ${(a + b)}^{2} + c$ đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng:

Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3, biểu thức:

$\frac{1 - x^{2}}{x} . (\frac{x^{2}}{x + 3} - 1) + \frac{3 x^{2} - 14 x + 3}{x^{2} + 3 x}$ luôn luôn có giá trị âm.

Xem đáp án

Điều kiện x $\neq$ 0 và x $\neq$ -3

Ta có:

Vì $x^{2} - 4 x + 5 = x^{2} - 4 x + 4 + 1 = {(x - 2)}^{2} + 1$ > 0 với mọi giá trị của x nên

$- x^{2} + 4 x - 5 = - [{(x - 2)}^{2} + 1]$ < 0 với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị x $\neq$ 0 và x $\neq$ -3

Câu 29:

Chú ý rằng vì ${(x + a)}^{2} \geq 0$ với mọi giá trị của x và ${(x + a)}^{2} = 0$ khi x = -a nên ${(x + a)}^{2} + b \geq 0$ với mọi giá trị của x và ${(x + a)}^{2} + b = b$ khi x = -a .Áp dụng điều này giải các bài tập sau:

Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức $\frac{x^{2}}{x - 2} . (\frac{x^{2} + 4}{x} - 4) + 3$ có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

Xem đáp án

Điều kiện x $\neq$ 2 và x $\neq$ 0

Vì ${(x - 1)}^{2} \geq 0$ nên ${(x - 1)}^{2} + 2 \geq 2$ với mọi giá trị của x.

Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 khi x = 1.

Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại x = 1.

Câu 30:

Chú ý rằng vì ${(x + a)}^{2} \geq 0$ với mọi giá trị của x và ${(x + a)}^{2} = 0$ khi x = -a nên ${(x + a)}^{2} + b \geq 0$ với mọi giá trị của x và ${(x + a)}^{2} + b = b$ khi x = -a .Áp dụng điều này giải các bài tập sau:

Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức: $\frac{{(x + 2)}^{2}}{x} . (1 - \frac{x^{2}}{x + 2}) - \frac{x^{2} + 6 x + 4}{x}$ có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.

Xem đáp án

Điều kiện x $\neq$ -2 và x $\neq$ 0

Vì ${(x + 1)}^{2} \geq 0$ nên $- {(x + 1)}^{2} \leq 0$ ⇒ $- {(x + 1)}^{2} - 1 \leq - 1$

Khi đó biểu thức có giá trị lớn nhất bằng -1 khi x = -1

Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng -1 tại x = -1.

Câu 31:

(Đề thi học sinh giỏi toán cấp 2, Miền Bắc năm 1963)

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau tại x = -1,76 và y = 3/25;

$P = [(\frac{x - y}{2 y - x} - \frac{x^{2} + y^{2} + y - 2}{x^{2} - x y - 2 y^{2}}) : \frac{4 x^{2} + 4 x^{2} y + y^{2} - 4}{x^{2} + y + x y + x}] : \frac{x + 1}{2 x^{2} + y + 2}$

Xem đáp án

Thay x = -1,76; y = 3/25

⇒ P = 1/2

Câu 32:

(Đề thi học sinh giỏi, lớp 8 toàn quốc năm 1980). Thực hiện phép tính:

$\frac{1}{(b - c) (a^{2} + a c - b^{2} - b c)} + \frac{1}{(c - a) (b^{2} + a b - c^{2} - a c)} + \frac{1}{(a - b) (c^{2} + b c - a^{2} - a b)}$

Xem đáp án

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Giải Sách Bài Tập Toán 8 Tập 1

Ôn tập chương 2 - Phần Đại số

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan