Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có cạnh đối AD // BC và AD = BC bằng 3 cạnh ô vuông.

Tứ giác EFGH là hình bình hành vì có các cạnh đối bằng nhau.

EH = FG, EF = HG là đường chéo hình chữ nhật có cạnh 1 ô vuông và cạnh 3 ô vuông

Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)

EB = 1/2 AB (gt)

FD = 1/2 CD (gt)

Suy ra: EB = FD (1)

Mà AB // CD (gt)

⇒ BE // FD (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

⇒ DE = BF (tính chất hình bình hành)

Ta có: $\angle$A = $\angle$C (tính chất hình bình hành)

$\angle A_2$ = 1/2 $\angle$A ( Vì AM là tia phân giác của $\angle$(BAD) )

$\angle C_2$ = 1/2 $\angle$C ( Vì CN là tia phân giác của $\angle$(BCD) )

Suy ra: $\angle A_2$ = $\angle C_2$

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD (gt)

Hay AN // CM (1)

Mà $\angle N_1$ = $\angle C_2$(so le trong)

Suy ra: $\angle A_2$= $\angle N_1$

⇒ AM // CN (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau) (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMCN là hình bình hành.

Gọi O là'giao điểm của AC và BD, ta có:

OA = OC (tính chất hình bình hành) (1)

Xét hai tam giác vuông AEO và CFO, ta có:

$\angle$(AEO) = $\angle$(CFO) = ${90}^0$

OA = OC (chứng minh trên)

$\angle$(AOE) = $\angle$(COF) (đối đỉnh)

Do đó $∆$AEO = $∆$CFO (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ OE = OF (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AECF là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

Nối đường chéo AC.

Trong $∆$ABC ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

F là trung điểm của BC (gt)

Nên EF là đường trung bình của $∆$ABC

⇒EF//AC và EF = 1/2 AC

(tính chất đường trung hình tam giác) (1)

Trong $∆$ADC ta có:

H là trung điểm của AD (gt)

G là trung điểm của DC (gt)

Nên HG là đường trung bình của $∆$ADC

⇒ HG // AC và HG = 1/2 AC (tính chất đường trung bình tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành)

AK = 1/2 AB (gt)

CI = 1/2 CD (gt)

Suy ra: AK = CI (1)

Mặt khác: AB // CD (gt)

⇒ AK // CI (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKCI là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

⇒ AI // CK

Trong $∆$ABE, ta có:

K là trung điểm của AB (gt)

AI // CK hay KF // AE nên BF = EF (tính chất đường trung bình tam giác)

Trong $∆$DCF, ta có:

I là trung điểm của DC (gt)

AI // CK hay IE // CF nên DE = EF (tính chất đường trung bình tam giác)

Suy ra: DE = EF = FB

Tứ giác ABCD là hình bình hành.

⇒ $\angle$C = $\angle$A = ${110}^0$ (tính chất hình bình hành)

$\angle$A + $\angle$B = ${180}^0$ (2 góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ $\angle$B = ${180}^0$ – ${110}^0$ = ${70}^0$

      $\angle$D = $\angle$B = ${70}^0$ (tính chất hình bình hành)

Tứ giác ABCD là hình bình hành.

⇒$\angle$A + $\angle$B = ${180}^0$ (2 góc trong cùng phía bù nhau)

       $\angle$A - $\angle$B = ${20}^0$ (gt)

Suy ra: 2$\angle$A = ${200}^0$ ⇒ $\angle$A = ${100}^0$

$\angle$C = $\angle$A = ${100}^0$(tính chất hình bình hành)

$\angle$B = $\angle$A – ${20}^0$ = ${100}^0$ – ${20}^0$ = ${80}^0$

$\angle$D = $\angle$B = ${80}^0$ (tính chất hình bình hành)

* Tứ giác ABCD là hình bình hành vì AB // CD và AB = CD.

* Tứ giác IKMN có: $\angle$I + $\angle$K + $\angle$N + $\angle$M = ${360}^0$

Suy ra: $\angle$N = ${360}^0$ - ($\angle$K + $\angle$I + $\angle$M) = ${110}^0$

Ta có $\angle$I = $\angle$M = ${70}^0$ và $\angle$K = $\angle$N = ${110}^0$

Suy ra IKMN là hình bình hành (tứ giác có các góc đối bằng nhau).

* Tứ giác EFGH không là hình bình hành vì có hai đường chéo không cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Chu vì hình bình hành ABCD bằng 10cm nên (AB + AD).2 = 10(cm)

⇒ AB + AD = 10 : 2 = 5(cm)

Chu vi của $∆$ABD bằng:

AB + AD + BD = 9(cm)

⇒ BD = 9 - (AB + AD) = 9 - 5 = 4(cm)

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có:

OB = OE + EB và OD = OF+ FD (1)

Lại có: EB = FD (giả thiết) (2)

OB = OD ( tính chất hình bình hành). (3)

Từ (1), (2),(3) suy ra: OE = OF

Suy ra tứ giác AECF là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

⇒ AE // CF.

+) Ta có:

AE = 1/2 AB; CF = 1/2. CD ( vì E và F lần lượt là trung điểm của AB, CD).

Và AB = CD (tính chất hình bình hành)

Suy ra: AE = CF

+) Lại có: AB // CD ( vì ABCD là hình bình hành) nên AE //CF

Tứ giác AECF có hai cạnh đối AE, CF song song và bằng nhau nên là hình bình hành

⇒ AF //CE hay EN // FM (1)

Xét tứ giác BFDE ta có:

AB // CD (gt) hay BE // DF

BE = 1/2 AB (gt)

DF = 1/2 CD (gt)

AB = CD (tính chất hình bình hành)

Suy ra: BE = DF

Tứ giác BFDE là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ BF//DE hay EM // FN (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EMFN là hình bình hành (theo định nghĩa hình bình hành)

Gọi O là giao điểm của AC và EF

Tứ giác AECF là hình bình hành ⇒ OE = OF

Tứ giác EMFN là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra: MN đi qua trung điểm O của EF.

Vậy AC, EF, MN đồng quy tại O.

+) Ta có: AH + HD = AD

CG + GB = CB

Mà AD = CB ( vì ABCD là hình bình hành).

DH = GB ( giả thiết)

Suy ra: AH = CG.

Xét $∆$AEH và $∆$CFG:

AE = CF (gt)

$\angle$A = $\angle$C (tính chất hình bình hành)

AH = CG ( chứng minh trên).

Do đó: $∆$AEH = $∆$CFG (c.g.c)

⇒ EH = FG

Xét $∆$BEG và $∆$DFH, ta có:

BG = DH (gt)

$\angle$B = $\angle$D (tính chất hình bình hành)

BE = DF (vì AB = CD và AE = CF nên AB – AE = CD – CF hay BE = DF )

Do đó: $∆$BEG = $∆$DFH (c.g.c) ⇒ EG = FH

Suy ra: Tứ giác EGFH là hình bình hành (vì có các cặp cạnh đối bằng nhau)

Gọi O là giao điểm của AC và EF

Xét tứ giác AECF, ta có: AB // CD (gt) hay AE // CF

AE = CF (gt)

Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

⇒ O là trung điểm của AC và EF

Tứ giác ABCD là hình bình hành có O là trung điểm AC nên O cũng là trung điểm của BD.

Tứ giác EGFH là hình bình hành có O là trung điểm EF nên O cũng là trung điểm của GH.

Vậy AC, BD, EF, GH đồng quy tại O.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Kẻ OO' ⊥ xy

Ta có: BB' ⊥ xy (gt)

DD' ⊥ xy (gt)

Suy ra: BB // OO' // DD'

Tứ giác BB'D'D là hình thang .

OB = OD (t/chất hình bình hành)

Nên O'B' = O'D'

Do đó OO' là đường trung bình của hình thang BB'D'D

⇒ OO' = (BB' + DD') / 2 (tính chất đường trung hình hình thang) (1)

AA' ⊥ xy (gt)

OO' ⊥ xy (theo cách vẽ)

Suy ra: AA' // OO'

Trong $∆$ACA' tacó: OA = OC (tính chất hình bình hành)

OO' // AA' nên OO' là đường trung bình của $∆$ACA'

⇒ OO' = 1/2 AA' (tính chất đường trung bình của tam giác)

⇒ AA' = 2OO' (2)

Tử (1) và (2) suy ra: AA' = BB' + DD'

Gọi O là giao điểm của AC và BD

⇒ OA = OC, OB = OD (tính chất hình bình hành)

Kẻ OO' ⊥ xy

AA' ⊥ xy (gt)

CC' ⊥ xy (gt)

Suy ra: AA' // OO' // CC'

Tứ giác ACC'A' là hình thang có:

OA = OC (chứng minh trên)

OO' // AA' nên OO' là đường trung bình của hình thang ACC'A'.

⇒ OO' = (AA' + CC') / 2 (t/chất đường trung bình của hình thang) (1)

BB' ⊥ xy

DD' ⊥ xy (gt)

OO' ⊥ xy (gt)

Suy ra: BB'// OO' // DD'

Tứ giác BDD'B' là hình thang có:

OB = OD (Chứng minh trên)

OO' // BB' nên OO' là đường trung bình của hình thang BDD'B'.

⇒ OO' = (BB' + DD') / 2 (tính chất đường trung bình của hình thang) (2)

Từ (1) và (2) => AA' + CC' = BB + DD'

Vì $\angle$(BAD) + $\angle$(BAE) + $\angle$(EAF) + $\angle$(FAD) = ${360}^0$

⇒ $\angle$(EAF) = ${360}^0$ – ($\angle$(BAD) + $\angle$(BAE) + $\angle$(FAD) )

Mà $\angle$(BAD) = ${\alpha }^2$ (gt)

$\angle$(BAE) = ${60}^0$ (ΔBAE đều)

$\angle$(FAD) = ${60}^0$ (ΔFAD đều)

Nên $\angle$(EAF) = ${360}^0$ – (${\alpha }^2$ + ${60}^0$ + ${60}^0$) = ${240}^0$ – $\alpha$

Ta có:

$\angle$(BAD) + ∠$\angle$(ADC) = ${180}^0$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ $\angle$(ADC) = ${180}^0$ - $\angle$(BAD) = ${180}^0$ – $\alpha$

$\angle$(CDF) = $\angle$(ADC) + $\angle$(ADF) = ${180}^0$ - ${\alpha }^2+{60}^0={240}^0-\alpha$

Suy ra: $\angle$(CDF) = $\angle$(EAF)

Xét $∆$AEF và $∆$DCF: AF = DF ( vì $∆$ADF đều)

AE = DC (vì cùng bằng AB)

$\angle$(CDF) = $\angle$(EAF) (chứng minh trên)

Do đó: $∆$AEF = $∆$DCF (c.g.c) ⇒ EF = CF (1)

$\angle$(CBE) = $\angle$(ABC) + ${60}^0={180}^0-\alpha +{60}^0={240}^0-\alpha$

Xét ΔBCE và ΔDFC: BE = CD ( vì cùng bằng AB)

$\angle$(CBE) = $\angle$(CDF) = ${240}^0-\alpha$

BC = DF (vì cùng bằng AD)

Do đó $∆$BCE = $∆$DFC (c.g.c) ⇒ CE = CF (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF = CF = CE

Vậy $∆$ ECF đều.

$\angle$(BAD) + $\angle$(BAC) + $\angle$(DAE) + $\angle$(EAC) = ${360}^0$

Lại có: $\angle$(BAD) = ${90}^0$, $\angle$(EAC) = ${90}^0$

Suy ra: $\angle$(BAC) + $\angle$(DAE) = ${180}^0$ (1)

AE // DI (gt)

⇒ $\angle$(ADI) + $\angle$(DAE) = ${180}^0$ (2 góc trong cùng phía)

Từ (1) và (2) suy ra: $\angle$(BAC) = $\angle$(ADI)

Xét $∆$ABC và $∆$DAI có:

AB = AD ( vì tam giác ABD vuông cân).

AC = DI ( = AE)

$\angle$(BAC) = $\angle$(ADI) ( chứng minh trên)

Suy ra: $∆$ABC = $∆$DAI (c.g.c) ⇒ IA = BC

$∆$ABC = $∆$DAI (chứng minh trên) ⇒ $\angle$(ABC) = $\angle A_1$ (3)

Gọi giao điểm IA và BC là H.

Ta có: $\angle A_1$+ $\angle$(BAD) + $\angle A_2$= ${180}^0$ (kề bù)

Mà $\angle$(BAD) = ${90}^0$ (gt) ⇒ $\angle A_1$+ $\angle A_2$= ${90}^0$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $\angle$(ABC)+ $\angle A_2$= ${90}^0$

Trong $∆$AHB ta có: $\angle$(AHB) + $\angle$(ABC)+ $\angle A_2$= ${180}^0$

Suy ra $\angle$(AHB) = ${90}^0$ ⇒ AH ⊥ BC hay IA ⊥ BC

Cách dựng 

- Dựng ΔABD có AB = 2cm, ∠A = 110o, AD = 3cm

- Dựng tia Bx //AD

- Dựng tia Dy // AB và Dy cắt Bx tại C

Ta có hình bình hành ABCD cần dựng

Chứng minh

AB //CD, AD // BC nên tứ giác ABCD là hình bình hành.

Ta lại có: AB = 2cm, $\angle$A = ${110}^0$, AD = 3cm.

Bài toán có một nghiệm hình.

Cách dựng

- Dựng $∆$OBC có OC = 2cm, OB = 2,5 cm, $\angle$(BOC) = ${50}^0$

- Trên tia đối tia OC lấy điểm A sao cho OA = OC = 2cm

- Trên tia đối tia OB lấy điểm D sao cho OD = OB =2,5cm

Nối AB, BC, CD, AD ta có hình bình hành ABCD cần dựng

Chứng minh

Tứ giác ABCD có OA = OC, OB = OD nên nó là hình bình hành vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Có AC = 4cm , BD = 5cm, $\angle$(BOC) = ${50}^0$

Bài toán có một nghiệm hình

- Nếu hình bình hành nhận AC làm đường chéo vì AB là đường chéo hình vuông có 2 ô vuông nên C$M_1$ là đường chéo hình vuông cạnh 2 ô vuông và A, $M_1$ nằm trên một nửa mặt phẳng bờ BC ta có hình bình hành ABC$M_1$

- Nếu hình bình hành nhận BC làm đường chéo, điểm A cách điểm C ba ô vuông, điểm B cách điểm $M_2$ là ba ô vuông và trên một nửa mặt phẳng bờ AB ta có hình bình hành AB$M_2$C

- Nếu hình bình hành nhận AB làm đường chéo thì điểm $M_3$ cách điểm B ba ô vuông, $M_3$ và A nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC ta có hình bình hành ACB$M_3$

Cách dựng:

- Dựng đường phân giác AD của góc BAC.

- Qua D dựng đường thẳng song song AB cắt AC tại F.

- Qua F dựng đường thẳng song song với BC cắt AB tại E.

Ta có điểm E, F cần dựng.

Chứng minh:

DF // AB

⇒ $\angle A_1$= $\angle D_1$(so le trong)

Lại có: $\angle A_1$= $\angle A_2$ ( vì AD là tia phân giác của góc BAC).

Suy ra: $\angle D_1$= $\angle A_2$

⇒ $∆$AFD cân tại F ⇒ AF = DF (l)

DF // AB hay DF // BE

EF // BC hay EF // BD

Tứ giác BDFE là hình bình hành ⇒ BE = DF (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AF = BE.

Chọn D

Ta có: OB = OD (tính chất hình bình hành)

OE = 1/2 OD (gt)

OF = 1/2 OB (gt)

Suy ra: OE = OF

Xét tứ giác AECF, ta có:

OE = OF (chứng minh trên)

OA = OC (vì ABCD là hình bình hành)

Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ) ⇒ AE // CF

Kẻ OM // AK

Trong $∆$CAK ta có:

OA = OC ( chứng minh trên)

OM // AK ( theo cách vẽ)

⇒ CM = MK (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong $∆$DMO ta có:

DE = EO (gt)

EK // OM (vì AK // OM)

⇒ DK = KM (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DK = KM = MC ⇒ DK = 1/2 KC

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Xét tứ giác AECF:

AB // CD (gt)

⇒ AE // CF

AE = CF (gt)

Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

⇒ AC và EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

OA = OC ( tính chất hình bình hành) ⇒ EF đi qua O

Vậy AC, BD, EF đồng quy tại O.