Cách dựng:

- Dựng đoạn BC = 5cm

- Dựng góc $\angle$CBx = ${35}^0$

- Dựng CA ⊥ Bx ta có $∆$ABC dựng được.

Chứng minh: $∆$ABC có $\angle$A = 90o, $\angle$B = ${35}^0$, BC = 5cm. Thỏa mãn điều kiện bài toán.

Cách dựng:

- Dựng đoạn AC = 2cm.

- Dựng góc $\angle$(CAx) bằng ${90}^0$

- Dựng cung tròn tâm C bán kính 4,5cm cắt Ax tại B. Nối CB ta có ΔABC cần dựng .

Chứng minh:

$∆$ABC có $\angle$A = ${90}^0$, AC = 2 cm, BC = 4,5 cm.

Thỏa mãn điều kiện bài toán.

Cách dựng:

- Dựng tam giác đều ABC

- Dựng tia phân giác AD của $\angle$(BAC)

Ta có $\angle$(BAD) = ${30}^0$

Chứng minh:

$∆$ABC đều ⇒ $\angle$(BAC) = ${60}^0$

$\angle$(BAD) = $\angle$(BAC)/2 (tính chất tia phân giác) ⇒ $\angle$(BAD) = ${30}^0$

Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa điều kiện bài toán, ta thấy ΔACD xác định được vì biết CD = 3cm, ∠D = 70o, AC = 4cm

Ta cần xác định đỉnh B. Đỉnh B thỏa mãn 2 điều kiện:

- Nằm trên tia Ay//CD

- B cách D một khoảng bằng 4cm.

Cách dựng:

- Dựng đoạn CD = 3cm

- Dựng góc CDx bằng ${70}^0$

- Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa tia Dx dựng cung tròn tâm C bán kính 4cm cắt Dx tại A.

- Dựng tia Ay // CD

- Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, dựng cung tròn tâm D bán kính 4cm cắt Ay tại B

- Nối BC ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng, ta có AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang có CD = 3cm , $\angle$D = ${70}^0$, AC = 4cm.

Vậy ABCD là hình thang cân.

Biện luận: $∆$ACD luôn dựng được nên hình thang ABCD luôn dựng được.

Bài toán có một nghiệm hình.

Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn bài toán.

Ta thấy $∆$ADC xác định được vì biết AD = 2cm, $\angle$D = ${90}^0$, DC = 4cm. Ta cần xác định đỉnh B. Đỉnh B thỏa mãn hai điều kiện:

- B nằm trên tia Ax//CD

- B cách C một khoảng bằng 3cm

Cách dựng:

- Dựng ΔADC biết:

AD = 2cm, $\angle$D = ${90}^0$, DC = 4cm

- Dựng Ax ⊥ AD

- Dựng cung tròn tâm C bán kính bằng 3cm, cắt Ax tại B.

Nối BC ta có hình thang ABCD dựng được.

Chứng minh:

Thật vậy theo cách dựng, ta có: AB // CD , $\angle$D = ${90}^0$

Tứ giác ABCD là hình thang vuông

Lại có AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm

Hình thang dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận: $∆$ ADC dựng được, hình thang ABCD luôn dựng được.

Bài toán có hai nghiệm hình.

Cách dựng:

- Dựng BH : 2,5cm

- Dựng $\angle$(xHB) = ${90}^0$

- Dựng cung tròn tâm B bán kính 3cm cắt Hx tại C.

- Dựng BC

- Dựng đường trung trực BC cắt CH tại A

- Dựng AB, ta có $∆$ABC cẩn dựng

Chứng minh:

Ta có AC = AB (tính chất đường trung trực)

Nên $∆$ABC cân tại A, BH ⊥ AC

Ta lại có BC = 3cm, BH = 2,5cm

Vậy $∆$ABC dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Cách dựng:

- Dựng đoạn thẳng BC = 4cm .

- Dựng góc $\angle$(CBx) bằng ${40}^0$

- Dựng trên nửa mặtphẳng bờ BC chứa tia Bx cung tròn tâm C bán kính 3cm cắt Bx tại A.

- Kẻ AC, ta có tam giác ABC cần dựng.

Chứng minh:

Thật vậy, theo cách dựng $∆$ABC có BC = 4cm, $\angle$B = ${40}^0$, AC = 3cm.

Thỏa mãn điều kiện bài toán

Bài toán có hai nghiệm hình.

Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Tam giác ADC dựng được vì biết ba cạnh AD = 2cm, DC = 4cm, AC = 3,5cm. Điểm B thỏa mãn hai điều kiện:

- B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.

- B cách C một khoảng bằng 2,5cm.

Cách dựng:

- Dựng $∆$ADC biết AD = 2cm, DC = 4cm, AC = 3,5cm

- Dựng tia Ax // CD. Ax nằm trong nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm C.

- Dựng cung tròn tâm C bán kính 2,5cm. Cung này cắt Ax tại B, nối CB ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh:

Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD.

Hình thang ABCD có: AD = 2cm, CD = 4cm, AC = 3,5cm, BC = 2,5cm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Biện luận: Vì $∆$ADC luôn dựng được nên hình thang ABCD dựng được .

Vì cung tròn tâm C bán kính 3cm cắt Ax tại hai điểm nên ta dựng được hai hình thang thỏa mãn bài toán.

Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác ADC dựng được vì biết ba cạnh AD = 2cm, CD = 4cm, AC= 3,5cm. Điểm B thỏa mãn 2 điều kiện:

- B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.

- B cách D một khoảng bằng 3,5cm( vì ABCD là hình thang cân nên hai đường chéo bằng nhau).

Cách dựng:

- Dựng $∆$ADC biết:

AD = 2cm, AC = 3,5cm, CD = 4cm.

- Dựng tia Ax // CD. Ax nằm trong nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm C.

- Dựng cung tròn tâm D bán kính 3,5cm. Cung này cắt Ax tại B. Nối CB, ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh:

Tứ giác ABCD là hình thang vì AB //CD.

AC = BD = 3,5cm

Vậy hình thang ABCD là hình thang cân.

Hình thang cân ABCD có: AD = 2cm, CD = 4cm, AC = 3,5cm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Biện luận: Tam giác ADC luôn dựng được nên hình thang ABCD luôn dựng được. Cung tròn tâm D bán kính 3,5cm cắt Ax tại 1 điểm nên ta dựng được một hình thang thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác ADH dựng được vì biết hai cạnh góc vuông AH = 2cm và HD = lcm, $\angle$H = ${90}^0$ và đáy AB < CD nên $\angle$D < ${90}^0$. Điểm H nằm giữa D và C.

Điểm C nằm trên tia đối tia HD và cách H một đoạn bằng 3 cm

Điểm B thỏa mãn hai điều kiện:

- B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với DH.

- B cách A một khoảng bằng 2cm

Cách dựng:

- Dựng ΔAHD biết $\angle$H = ${90}^0$, AH = 2cm , HD = lcm

- Dựng tia đối của tia HD

- Trên tia đối của tia HD dựng điểm C sao cho HC = 3cm

- Dựng tia Ax // DH, Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm H.

- Trên tia Ax, dựng điểm B sao cho AB = 2cm . Nối CB ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh:

Tứ giác ABCD là hình thang vì AB//CD.

Kẻ BK ⊥ CD. Tứ giác ABKH là hình thang có 2 cạnh bên song song nên: BK = AH và KH = AB

Suy ra: KC = HC - KH = HC - AB = 3 - 2 = 1 (cm)

Suy ra: $∆$AHD = $∆$BKC (c.g.c) ⇒ $\angle$D = $\angle$C

Phân tích:

Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại E. Hình thang ABCE có 2 cạnh bên song song nên AB = EC = 2cm do đó DE = 2cm

Tam giác ADE dựng được vì biết 2 góc kề với một cạnh.

Điểm C nằm trên tia DE cách D một khoảng bằng 4cm.

Điểm B thỏa mãn hai điều kiện:

- B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD.

- B nằm trên đường thẳng đi qua C và song song với AE.

Cách dựng:

- Dựng ΔADE biết DE = 2cm, $\angle$D = ${70}^0$, $\angle$E = ${50}^0$

- Trên tia DE lấy điểm C sao cho DC = 4cm

- Dựng tia Ax // CD, Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm C

- Dựng tia Cy // AE, Cy nằm trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A.

Cy cắt Ax tại B. Hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh:

Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD.

CD = CE + ED ⇒ CE = CD – ED = 4 – 2 = 2 (cm)

Hình thang ABCE có hai cạnh bên AE // CB

⇒ AB = CE = 2 (cm)

$\angle$C = $\angle$E = ${50}^0$ (hai góc đồng vị)

$\angle$D = ${70}^0$

Hình thang ABCD thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận: Tam giác ADE luôn dựng được, hình thang ABCD luôn dựng được. Ta dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện bài toán.

Phân tích:

Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại E ta thấy tam giác AED xác định vì biết ba cạnh, ta cần xác định đình B và C.

- Đỉnh C nằm trên tia DE, cách D một khoảng bằng 4cm.

- Đỉnh B nằm trên đường thẳng đi qua A song song với đường thẳng DE và cách A một khoảng bằng lcm.

Cách dựng:

- Dựng $∆$ADE biết AD = 2cm, DE = 3cm, AE = 3cm

- Trên tia DE dựng điểm C sao cho DC = 4cm

- Dựng đường thẳng đi qua A và song song với DC, lấy điểm B sao cho AB = lcm. Nối BC ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh:

Thật vậy, theo cách dựng ta có AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang.

Ta có: AD = 2cm, DC = 4cm, AB= lcm, hình thang ABCE có hai cạnh đáy AB = EC = 1cm nên BC = AE = 3cm.

Hình thang ABCD thỏa mãn điều kiện bài toán.

Biện luận: Tam giác ADB luôn dựng được nên hình thang ABCD dựng được, bài toán có một nghiệm hình.

Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD tại E. Tứ giác ABEC là hình thang có hai cạnh bên song song nên CE = AB = l cm, BE = AC = 3cm

Tam giác BDE xác định được, ta cần xác định đỉnh C và A.

- Đỉnh C nằm trên tia DE cách D một khoảng bằng 3cm

- Đỉnh A nằm trên đường thẳng đi qua B và song song với CD, A cách C một khoảng bằng 3 cm. (ABCD là hình thang cân nên AC = BD = 3 cm)

Cách dựng:

- Dựng $∆$BDE biết BD = 3cm, BE = 3cm , DE = 4cm

- Dựng điểm C trên tia DE sao cho DC = 3cm

- Dựng đường thẳng d đi qua B song song với CD.

- Dựng cung tròn tâm C bán kính 3 cm cắt đường thắng d tại A. Nối AD ta có hình thang ABCD dựng được.

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có AB // CD.

Tứ giác ABCD là hình thang. CD = 3cm, AC = BD = 3cm. Vậy ABCD là hình thang cân thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài toán có một nghiệm hình.

Cách dựng:

- Dựng $∆$ABD biết AB = 2cm, $\angle$A = ${80}^0$ , AD = 3cm

- Dựng $\angle$(ABx) = ${120}^0$

- Trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa đỉnh B dựng $\angle$(ADy) = ${60}^0$. Dy cắt Bx tại C.

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng:

AB = 2cm, $\angle$A = ${80}^0$, AD = 3cm

$\angle$B = ${120}^0$

$\angle$C = ${360}^0$ - ($\angle$A + $\angle$B + $\angle$C ) = ${360}^0$ - (${80}^0$ + ${120}^0$ + ${60}^0$) = ${100}^0$

Tứ giác ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán.

Cách dựng:

- Dựng $∆$ABC đều

- Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B dựng tia Ax ⊥ AC

- Dựng tia phân giác Ay của $\angle$(xAB)

Ta có: $\angle$(CAy) = ${75}^0$

Chứng minh: Thật vậy, $∆$ABC đều nên $\angle$(BAC) = ${60}^0$, $\angle$(xAC) = ${90}^0$

⇒ $\angle$(BAx) = $\angle$(xAC) - $\angle$(BAC)

⇒ $\angle$(BAx) = ${90}^0$ – ${60}^0$ = ${30}^0$

⇒ $\angle$(BAy) = 1/2 $\angle$(BAx) = 1/2.${30}^0$= ${15}^0$

Do đó, $\angle$(CAy) = $\angle$(CAB) + $\angle$(BAy) = ${60}^0$ + ${15}^0$ = ${75}^0$

Cách dựng:

- Dựng $∆$BHC, BH = 2,5 cm

- $\angle$(BHC) = ${90}^0$

- Trên tia Hx lấy điểm C sao cho BC = 3cm

- Dựng tia đi qua B và song song CH nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm H. Lấy điểm A sao cho BA = 2cm

- Dựng cung tròn tâm B bán kính bằng AC cắt tia CH tại D.

Nối AD ta có hình thang ABCD cần dựng.

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang có AB = 2cm, BC = 3cm, BH = 2,5cm.

AC = BD

Vậy ABCD là hình thang cân thỏa mãn điều kiện bài toán.

Cách dựng:

- Dựng tam giác BCD có $\angle$B = ${80}^0$, BC = 3cm, BD = 5cm.

- Dựng I là trung điểm của CD

- Dựng đường trung trực CD cắt BD tại A

Nối A với C ta có $∆$ABC cần dựng

Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có ΔABC

$\angle$B = ${80}^0$ , BC = 3cm, AB + AC = AB + AD = BD = 5cm (vì AC = AD tính chất đường trung trực nên AB + AC = 5 cm)

$∆$ABC thỏa mãn điều kiện bài toán.